Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.

5. Свойства функции и её график

О. Функция, задаваемая формулой называетсякубической функцией.

Рассмотрим частный случай такой функции:

Свойства:

1. Область определения функции: .

, т.к. в третью степень можно возвести любое действительное число.

2. Множество значений функции:

(почему?)

3. Периодичность:

Кубическая функция не может быть периодической, т. к., например, свое значениеона принимает только в одной точке.

4. Чётность/нечётность

, то есть и , значит, функция является нечетной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью :

Точки пересечения с осью :.

6. Промежутки знакопостоянства функции:

Если , топри , при

Если , топри , при

7. Интервалы возрастания/убывания

Теорема.

Если , то функция является возрастающей на всей области определения

Если , то функция является убывающей на всей области определения

Доказательство:

Пусть .

Рассмотрим разность значений функции в точках , таких, что

Тогда все три сомножителя в полученном выражении положительны. Это означает, что , т.е., значит, если, то функция является возрастающей на всей области опреления.

Случай рассматривается аналогично(рассмотрите его самостоятельно).

8. Наибольшее/наименьшее значение функции

, то функция не имеет наибольшего и наименьшего значения

9. График функции.

О. Графиком кубической функции является кривая, называемая кубической параболой (рис.4).

6. Свойства функции и её график

Рассмотрим функцию вида:.

Свойства:

1. Область определения функции:

(по свойствам квадратного корня) (см. § 28)

2. Множество значений функции:

(почему?)

3. Периодичность:

Если , то, значит функция не определена в точке, а значит, функцияне является периодической.

4. Чётность/нечётность

Если , то, значит, функция не определена в точке, а, значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью : если

Точки пересечения с осью

6. Промежутки знакопостоянства функции:

7. Интервалы возрастания/убывания

возрастает на всей области определения

8. Наибольшее/наименьшее значение функции

- не существует.

9. График функции

(рис 11).

7. Свойства функции и её график

Рассмотрим окружность с центром, расположенным в начале координат, и радиусом, равным единице (это так называемаятригонометрическая окружность).

Для любого действительного числа можно провести радиусON этой окружности, образующий с осью угол, радианная мера которого равна числу(положительным считается направление поворота против хода часовой стрелки). (рис 5)

О. Число, равное ординате конца единичного радиуса, задающего угол , называетсясинусом угла и обозначается.

Т.к. каждому значению величины угла на тригонометрической окружности соответствует единственная точка, такая, что радиусON образует угол с осью, то данное определение задает функцию.