- •Элементарная математика
- •Часть1. (Алгебра и начала анализа)
- •Основные определения
- •Свойства функции и её график
- •Свойства:
- •Свойства функции и её график
- •Свойства:
- •Свойства функции и её график. Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
- •Свойства:
- •Взаимное расположение графика квадратичной функции и оси абсцисс.
- •Свойства функции и её график
- •Свойства:
- •Свойства функции и её график
- •Свойства:
- •Свойства функции и её график
- •Свойства:
- •Свойства функции и её график
- •Свойства:
- •Свойства функции и её график
- •Свойства:
- •Свойства функции и её график
- •Свойства:
- •Свойства степени. Показательная функция и её свойства.
- •Свойства степени с натуральным показателем
- •Свойства степени с действительным показателем
- •Свойства:
- •Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, степени, частного. Зависимость между логарифмами числа по разным основаниям.
- •Свойства:
- •Преобразование графиков функций
- •Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Формула корней квадратного уравнения.
- •Теорема Виета.
- •Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
- •Формулы сокращенного умножения.
- •Свойства числовых неравенств.
- •Свойства числовых равенств.
- •Метод интервалов
- •Формулы приведения.
- •Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
- •Тригонометрические функции двойного и половинного аргумента
- •Преобразование суммы (разности) в произведение
- •Преобразование произведения в сумму.
- •Обратные тригонометрические функции. (Теорема о корне и теорема об обратной функции)
- •Арксинус
- •Арккосинус
- •Арктангенс
- •Арккотангенс
- •Решение уравнений вида
- •Решение уравнений вида
- •Решение уравнений вида
- •Решение уравнений вида
- •Решение уравнений типа с помощью вспомогательного аргумента.
- •Признаки делимости на 2,3,5,9,10.
- •Делимость на 2
- •Делимость на 3 на 9
- •Делимость на 5
- •Делимость на 10
- •Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень, его свойства. Корень и арифметический корень п-ой степени
- •Свойства арифметического квадратного корня
- •Cвойства
- •Геометрическая прогрессия. Формулы п-го члена и суммы п первых членов геометрической прогрессии. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.
- •Тригонометрическая окружность
- •Сборник формул
- •Библиографический список
Делимость на 2
Пусть
Рассмотрим десятичную запись натурального числа :
, где , таким образом,, где
Слагаемое правой части делится на 2, так как содержит множитель 2,
,
Тогда делится на 2делится на 2, то есть,
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2
Делимость на 3 на 9
Рассмотрим разность между заданным числом и суммой его цифр:
= , где
Так как и, то мы доказали чтоделится на 9.
, тогда
Пусть теперь сумма цифр числа делится на 3
т.е.
тогда
, то есть
=3q, qN
=9p + 3q = 3(3p + q) = 3i, iN т.е. делится на 3
Пусть теперь сумма цифр числа делится на 9
тогда
, то есть
Вывод:
Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и само число делится на 3.
Если сумма цифр натурального числа делится на 9, то и само число делится на 9
Делимость на 5
Пусть
образом, , где
Слагаемое правой части делится на 5, так как содержит множитель 5,
,
Тогда делится на 5делится на 5, то есть,
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрами 0 и 5
Делимость на 10
Пусть
образом, , где
Слагаемое правой части делится на 10, так как содержит множитель 10,
,
Тогда делится на 10делится на 10, то есть,
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается цифрой 0
Квадратный корень из числа. Арифметический квадратный корень, его свойства. Корень и арифметический корень п-ой степени
О.Квадратным корнем из числа называется число, квадрат которого равен.
О.Арифметическим квадратным корнемиз неотрицательного числа называется неотрицательное число, квадрат которого равен :
То есть
О.Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, - я степень которого равна а,
Число называется показателем корня
О.Арифметическим корнем – ой степенииз числаназывается неотрицательное число, -я степень которого равна.
Если - нечетное, то существует корень - й степени из любого числа, и притом только один.
Если - четное, то существует ровно 2 корня –ой степени из любого положительного числа.
По определению .
Замечание:Корней четной степени из отрицательных действительных чисел на множестве действительных чисел не существует.
Свойства арифметического квадратного корня
1.
Доказательство:
Пусть , тогда каждое из выраженийимеет смысл.
Покажем, что выполняются условия:
1)
2)
Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то произведениенеотрицательно.
Используя свойство степени произведения получим:
Т.о., по определению арифметического квадратного корня при верно равенство:
.
Равенство является тождеством, т.к. оно верно при всех допустимых значенияхи.
Данная теорема верна и в случае, когда число множителей под знаком корня больше двух.
Т.о. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей.
2.
Доказательство:
Пусть , тогда каждое из выраженийимеет смысл.
Покажем, что выполняются условия:
1)
2)
Так как выражения принимают лишь неотрицательные значения, то частноенеотрицательно.
Используя свойство степени частного получим:
Т.о., по определению арифметического квадратного корня при верно равенство:
.
3.
Доказательство:
Рассмотрим 2 случая:
если , тогда по определению арифметического квадратного корня
если , то , поэтому.
По определению модуля:
таким образом, .