М.Л. Шалагинова

Элементарная математика

Часть1. (Алгебра и начала анализа)

Учебное пособие для студентов

математических специальностей

Киров, 2012

Оглавление

1. Основные определения

О. Функцией называется такая зависимость переменной от переменной, при которой каждому значению переменнойсоответствует единственное значение переменной.

О. Переменную при этом называют независимой переменной илиаргументом, а переменную при этом называют зависимой переменной илифункцией.

О. Множество всех значений аргумента называется областью определения функции.

О. Множество всех значений, которые принимает зависимая переменна (функция) называется множеством значений функции.

О. Функция называется периодической , при этом числоT – называется периодом функции.

О. Функция называется чётной, если выполняются следующие условия:

О. Функция называется нечётной, если выполняются следующие условия:

О. Функция называется возрастающей, если выполняется следующее условие:

О. Функция называется убывающей, если выполняется следующее условие:

О. называется наименьшим значением функции , если выполняется следующее условие:

О. называется наибольшим значением функции , если выполняется следующее условие:

О. Графиком функции называется подмножество координатной плоскости, состоящее из точек с координатами, где

О. Прямая называетсягоризонтальной асимптотой графика функции, если

О. Прямая называетсявертикальной асимптотой графика функции, если

О. Прямая называетсянаклонной асимптотой графика функции, если существуют конечные пределы: и

2. Свойства функции и её график

О. Функция вида:, гденазываетсялинейной функцией.

Свойства:

1. Область определения функции

, т.к. значение выражения однозначно определяется(почему?).

2. Множество значений функции:

Если , то множество значений состоит из одного числаb, , т.к. значение выраженияв этом случае равно b.

Если , то множеством значений функции будет множество, т.к..

3. Периодичность:

Теорема.

Если , то функция является периодической и её период – любое действительное число.

Если , то функция не является периодической.

Доказательство:

• При утверждение верно, т.к. функция при всех значенияхх принимает одно значение, равное b.

• Пусть , предположим, что линейная функция имеет период, т.е.

, т.к. по условию , значит предположение о том, что линейная функция имеет период, не верно, и прилинейная функция не является периодической.

4. Чётность/нечётность

Если , то функция не является ни чётной, ни нечётной, т.к.

, а и

Если , то функция имеет вид:, и, значит, функция является чётной.

Если , то функция имеет вид:, и, значит, функция является нечётной.

5. Точки пересечения графика с осями координат.

Точки пересечения с осью если

Точки пересечения с осью

Тогда если

Если

Если

Если

6. Промежутки знакопостоянства функции (промежутки, на которых функция сохраняет свой знак):

   1. если , то, значит, функция не меняет своего знака на всей области определения: если, если

   2. если , то

:

3. если , то

:

7. Промежутки монотонности (Интервалы возрастания/убывания функции)

Теорема.

Если , то функция- постоянное число (b=const),

Если то функция возрастает,

Если , то функция убывает.

Доказательство:

Возьмем произвольные такие, чтои рассмотрим разность:

• если , то- функция постоянна

• если , тофункция возрастает

• если , тофункция убывает

8. Наибольшее/наименьшее значение функции

Функция не имеет наименьшего и наибольшего значения, т.к. её множеством значений является всё множество.

9. График функции

Графиком линейной функции является прямая (рис 1).