ИДЗ Математика ИКРиМ 1 семестр v2
.docПрим. Во всех случаях подразумевается, что значения параметров таковы, что выражения под знаком предела имеют смысл.
ИДЗ-11. Полное исследование функции и построение ее графика.
Провести полное исследование указанных функций и построить их графики:
-
y = ; y = .
-
y = ; y = x + ln(x2 – 4).
-
y = ; y = .
-
y = ; y = xln2x.
-
y = ; y = .
-
y = ; y = x2 .
-
y = ; y = x .
-
y = x + ; y = .
-
y = x – ln(1 + x2); y = .
-
y = ; y = x ex.
-
y = x2 – 2ln x; y = x2 .
-
y = x3 ; y = .
-
y = ; y = (x + 2).
-
y = ; y = .
-
y = – ; y = .
-
y = ln(x2 + 1); y = .
-
y = ; y = (x + 1).
-
y = xln x; y = .
-
y = (x – 1); y = .
-
y = ; y = ln(x2 – 2x + 6).
-
y = ; y = ln(1 – 1/x2).
-
y = ; y = x3 .
-
y = ; y = x + 2arctg x.
-
y = (x – 5); y = 1 – ln3x.
-
y = ; y = (x – 1).
-
y = ; y = .
-
y = x2 + ; y = –xln2x.
-
y = ; y = .
-
y = ; y = .
-
y = ; y = .
ИДЗ-12. Решение задачи оптимизации.
Построить математическую модель и решить задачу оптимизации:
-
Полотняный шатер объемом V имеет форму прямого конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу его основания, чтобы на шатер пошло наименьшее количество полотна?
-
В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании вписать параллелограмм наибольшей площади так, чтобы одна из его сторон лежала на основании, а другая – на боковой стороне треугольника. Найти длины сторон параллелограмма.
-
Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объеме V наименьшую полную поверхность.
-
Требуется сделать коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какой должна быть высота воронки, чтобы ее объем был наибольшим?
-
Периметр равнобедренного треугольника равен 2p. Каково должно быть его основание, чтобы объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг его основания был наибольшим?
-
Найти высоту H конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
-
Проволокой, длина которой составляет l м, необходимо огородить клумбу, имеющую форму кругового сектора. Каким должен быть радиус круга R, чтобы площадь клумбы была наибольшей?
-
Определить наибольшую площадь S прямоугольника, вписанного в полукруг радиуса a.
-
Бревно длиной 20 м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 2 м и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением и соосную с бревном так, чтобы ее объем был наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?
-
С корабля, который стоит на якоре в 9 км от берега, нужно послать гонца в лагерь, расположенный на берегу в 15 км от ближайшей к кораблю точки берега. Скорость посыльного при движении пешком составляет 5 км/ч, а на лодке – 4 км/ч. В каком месте он должен пристать к берегу, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?
-
Прямоугольная полоса жести шириной a = 0,5 м должна быть согнута в виде открытого кругового цилиндрического желоба так, чтобы его сечение имело форму сегмента. Каким должен быть центральный угол , опирающийся на дугу этого сегмента, чтобы поперечное сечение желоба было наибольшим?
-
Из круглого цилиндрического бревна диаметром d надо вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина b и высота h этого сечения, чтобы балка, будучи горизонтально расположенной и равномерно нагруженной, имела наименьший прогиб? Известно, что величина прогиба обратно пропорциональна произведению ширины b поперечного сечения и куба его высоты h.
-
Рудное месторождение расположено на расстоянии 70 км от прямолинейной железной дороги. Расстояние по прямой от месторождения до перерабатывающего комбината равно 250 км. В каком месте надо начать строительство шоссе от железной дороги в направлении месторождения, чтобы обеспечить наименее затратную перевозку руды от месторождения к комбинату? Стоимость (в руб./кгкм) железнодорожной перевозки составляет 30 ед., по шоссе – 50 ед.
-
Туристу нужно добраться из пункта A, находящегося на одном берегу реки шириной h = 2 км, в пункт B, расположенный на другом берегу (расстояние между пунктами A и B (вдоль берега) равно a = 8 км). Скорость передвижения по берегу в k = 5 раз больше скорости передвижения по воде. Под каким углом туристу следует пересечь реку, чтобы добраться из A в B за минимальное время?
-
На прямолинейном отрезке AB длиной a, соединяющем два источника света A (силой p) и B (силой q) найти точку M, освещаемую слабее всего. Освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.
-
Лампа висит над центром круглого стола радиусом r. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего не его крае, будет наилучшей? Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.
-
Из всех цилиндров, вписанных в данный конус, найти тот, у которого боковая поверхность наибольшая. Высота конуса H, радиус основания R.
-
Из бумажного круга вырезан сектор, а из оставшейся его части склеена коническая воронка. Какой угол должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем воронки был наибольшим?
-
Из всех прямых конусов с данной боковой поверхностью S найти тот, у которого объем наибольший.
-
Сечение шлюзового канала имеет форму прямоугольника, заканчивающегося полукругом. Периметр сечения равен 45 м. При какой ширине канала его пропускная способность максимальна?
-
База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/час, а по лесу – 3 км/час. За какое минимальное время пешеход сможет добраться от базы до станции?
-
Найти высоту h и радиус r основания прямого кругового конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.
-
При каком наклоне боковых сторон равнобедренной трапеции площадь ее будет наибольшей, если боковые стороны равны b, а меньшее основание равно a.
-
Из фигуры, ограниченной кривой y = 3 и прямыми x = 4, y = 0, вырезать прямоугольник наибольшей площади.
-
Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом R, вращается вокруг прямой, которая происходит через его вершину, параллельно основанию. Какой должна быть высота этого треугольника, чтобы тело, полученное в результате его вращения, имело наибольший объем?
-
Требуется изготовить открытый цилиндрический бак вместимостью V. Стоимость 1 м2 материала из которого изготавливается дно бака, составляет P1 = 300 руб., а стоимость 1 м2, идущего на стенки бака, – P2 = 200 руб. При каком отношении радиуса R дна к высоте H бака затраты на материал будут минимальными?
-
Сосуд с вертикальными стенками высотой H = 60 см, наполненный невязкой жидкостью, стоит на горизонтальной плоскости. Определить местоположение отверстия, при котором дальность струи будет наибольшей, если скорость вытекающей жидкости по закону Торричелли равна v = , где h – высота столба жидкости над отверстием, g – ускорение свободного падения.
-
Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен 15 м. При каком радиуса полукруга R окно будет пропускать наибольшее количества света?
-
На странице книги печатный текст занимает площадь S = 300 см2; ширина верхнего и нижнего полей равна a = 20 мм, а правого и левого полей b = 15 мм. При каком отношении ширины к высоте текста площадь всей страницы будет наименьшей? Каковы при этом ее размеры?
-
Из круглого бревна, диаметр которого d, требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? Сопротивление балки на изгиб Q пропорционально произведению ширины x ее поперечного сечения и квадрата его высоты y, т.е. Q = kxy2, k = Const.
Литература
-
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие для вузов. СПб.: Лань, 2000. 448с.
-
Лунгу К.Н. и др. Сборник задач по высшей математике, М., Айрис Пресс, 2007, ч. 1, 2.
-
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс. Ч.1: Тридцать шесть лекций. 2006, 288 с.
-
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс. Ч.2: Тридцать пять лекций. 2006, 256 с.
-
Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Индивидуальные задания по высшей математике: учеб. пособие. Ч.1. Минск: Выш. шк., 2009. 304 с.
-
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2 ч. СПб.: Лань. Ч.1. 2005. 448 с.
-
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2 ч. СПб.: Лань. Ч.2. 2005. 464 с.