56курсы / 5 курс / 10 / Теория телетрафика / Лекция 6

54

Лекция 6

Методы расчета двухзвенных коммутационных схем с потерями

Комбинаторный метод Якобеуса для полнодоступных включений

Задано:

1.Поток вызовов: простейший.

2.Коммутационная схема – двухзвенная, в выходы которой включен полнодоступный пучок линий.

3.Дисциплина обслуживания – с потерями.

Требуется найти: вероятность потерь.

Рассмотрим двухзвенную схему, в выходы которой включен полнодоступный пучок линий.

a

_mq

ПЩ

1

2

n_А

b

q

1

i

1

m_a

2

∙

∙

∙

k_a

k_b

mq

А

В

c

V=mq

А

В

∙

∙

∙

mq

А

В

Пусть в рассматриваемый момент времени вызов поступил на один из входов схемы.

Вызов может быть потерян в одном их трех случаев:

1.Заняты все промежуточные линии, которые могут быть использованы для поступающего вызова.

2.Заняты все линии в требуемом направлении.

3.Возникают неудачные комбинации свободных промежуточных линий и свободных выходов (внутренние блокировки).

Пусть вызов поступил в момент, когда i промежуточных линий из m_A, подключенных к n_A входам этого коммутатора, заняты. В этом случае для подключения входа к одному из выходов требуемого направления могут быть использованы оставшиеся m_A - i промежуточных линий. Если же выходы требуемого направления, соответствующие этим m_A - i линиям заняты, то наступают потери. Это утверждение справедливо для i=0,1,… m_A.

Если вероятность занятия i любых промежуточных линий обозначить через W_i, а вероятность занятия фиксированных m_A,- i выходов через H_m-i , то можно записать следующее выражение для потерь в двухзвенной схеме.

Это основное уравнение Якобеуса.

Эта формула справедлива при выполнении следующих двух предположений:

1.Независимость событий, описываемых вероятностями W_i и H_m-i . В силу независимости W_i , H_m-i их можно относить как ко входам, так и выходам.

2.Случайное (равновероятное) занятие промежуточных линий и выходов.

Для оценки вероятностей W_i и H_m-i по методу Якобеуса рекомендуется использовать распределения Эрланга и Бернулли.

Распределение Эрланга справедливо, если число источников нагрузки значительно больше, чем число обслуживающих устройств. Если число источников нагрузки соизмеримо с числом обслуживающих устройств, то используется распределение Бернулли.

Значения вероятностей W_i, H_m-i представим в следующей таблице.

Тип распределения	Wi	Hm-i
Эрланг
Бернулли

Потери в двухзвенной схеме без сжатия и расширения

Введем обозначения:

q - число выходов в направлении искания из одного коммутатора на звене В;

a,b,c – средняя величина интенсивности нагрузки соответственно на один вход, на одну промежуточную линию и один выход;

σ_A = коэффициент концентрации (σ_A < 1) или расширения

(σ_A >1);

σ_A = 1 – схема без сжатия и расширения.

f =1 – связность.

а) σ_A = 1, число коммутаторов на звене А соизмеримо с величиной q (k_A ≈ q, k_A =1,2,3).

Так как n_A=m_A, то на звене А имеет место распределение Бернулли. На звене В так же справедливо распределение Бернулли, т.к. n_Ak_A ≈ m_Aq.

Вероятность занятия i случайных выходов в направлении составит

Вероятность занятия m_A- i фиксированных промежуточных линий

.

Тогда

После преобразований, используя формулу бинома Ньютона, получим

Бернули-Бернули

б) σ_A = 1, число коммутаторов на звене А велико k_A» q (k_A > 4).

Вероятность занятия i любых выходов будет определяться по распределению Эрланга, т.к. число источников n_Ak_A много больше выходов m_Aq.

Вероятность занятия m_A- i фиксированных промежуточных линий – по распределению Бернулли

После преобразований получим

Бернули-Эрланг.

Потери в двухзвенной схеме с расширением

m_A> n_A , σ_A >1;

Отнесем W_i – вероятность занятия любых промежуточных линий;

H_m-i – вероятность занятия m_A- i фиксированных выходов.

В такой схеме число одновременных вызовов не превышает n_A и потери возникают только за счет внутренних блокировок.

а) Пусть k_A ≈ q, т.е. n_Ak_A ≈ m_Aq, n_A ≈ m_A. В этом случае и вероятность занятия промежуточных линий, и вероятность занятия выходов определяется по распределению Бернулли.

После преобразований получим

, σ_A >1 Бернулли-Бернулли.

б) Пусть k_A» q , т.е. n_Ak_A» m_Aq и n_A ≈ m_A.

В этом случае вероятность занятия промежуточных линий определяется по распределению Бернулли, а вероятность занятия выходов – по распределению Эрланга.

По аналогии с первым случаем получим

Бернулли-Эрланг.

Потери в двухзвенной схеме с концентрацией (сжатием)

n_A > m_A ; σ_A < 1.

Потери в такой схеме могут возникать как за счет внутренних блокировок, так и за счет того, что вызовов может поступить больше, чем m_A (n_A > m_A)

Примем W_i – вероятность занятия любых промежуточных линий;

H_m-i – вероятность занятия фиксированных выходов.

а) σ_A < 1; k_A ≈ q.

Так как n_A и m_A соизмеримы, то при k_A ≈ q можно использовать распределение Бернулли и на звене А, и на звене В.

При случайном искании эту формулу заменяют следующей приближенной

Бернулли-Бернулли.

б) Если k_A» q, то на звене А используется распределение Бернулли, на звене В – распределение Эрланга.

Бернулли-Эрланг.

При f >1 в уравнениях следует заменить a → a^f , b → b^f .

Число линий V = m_Aq из этих уравнений определяется подбором величины q, чтобы при заданной нагрузке выполнить заданную величину потерь P.

Контрольные вопросы

1. В каких случаях может быть потерян вызов, поступивший на один из входов двухзвенной коммутационной схемы?

2. Сформулируйте основные элементы математической модели метода Якобеуса для расчета потерь в двухзвенной схеме, в выходы которой включен полнодоступный пучок линий.

3. Запишите основное уравнение Якобеуса для определения потерь в двухзвенной схеме. Что означают вероятности W_i и H_m-i ?

4. При каких предположениях справедливо основное уравнение Якобеуса?

5. Какие распределения используются для оценки вероятностей W_i и H_m-i ?

В каких случаях применяются эти распределения?

6. От каких параметров двухзвенной схемы зависит выбор одного из шести уравнений Якобеуса для вероятности потерь?

7. Поясните, что означают составляющие, входящие в уравнения Якобеуса для определения потерь в двухзвенной схеме без сжатия и расширения.

8. Поясните, что означают составляющие, входящие в уравнения Якобеуса для определения потерь в двухзвенной схеме с расширением.

9. Поясните, что означают составляющие, входящие в уравнения Якобеуса для определения потерь в двухзвенной схеме со сжатием.

10. Как определяется из уравнений Якобеуса число линий, включенных полнодоступно в выходы двухзвенной схемы?

11. Что следует изменить в записи уравнений Якобеуса, если связность двухзвенной схемы f > 1?