4. Функции ценности, полезности и выбора

4.1Функции ценности

Функция ценности (ФЦ) относится к уже упомянутому нами классу математических моделей теории выбора - классу так называемых индикаторов предпочтений. Дадим формальное определение. Пусть  - множество векторов в n - мерном пространстве и на  задано бинарное отношение, отражающее систему предпочтений некоторого эксперта (ЛПР). Тогда скалярная функция V(x) есть ФЦ, соответствующее этому бинарному отношению, если

V(x) V(x) xR x.

С такого ряда конструкцией мы встречались уже ранее - при изучении методов моделирования платёжеспособного спроса. Рассматривая теперь применение этого инструментария в ТПР, попробуем ответить на такие вопросы:

1. - что даёт наличие ФЦ (с точки зрения упрощения ЗПР, её автоматизации и т.д.);

1. - каким свойством должно обладать отношение предпочтения эксперта (ЛПР), чтобы ФЦ существовала;

1. - является ли функция ценности единственной;

1. - чем определяется вид ФЦ;

1. - как построить ФЦ.

1. Наличие ФЦ позволяет свести задачу выбора наилучшей альтернативой к хорошо структурированной математической задачи максимизации ФЦ. Во многих реальных задачах мы можем рассчитывать на то, что зависимость ФЦ от исходного множества альтернатив  есть, но не слишком существенна и потому, построив один раз ФЦ, можно будет применять её многократно, при повторных возникновениях данной ЗПР.

ФЦ есть способ запомнить, зафиксировать систему предпочтений ЛПР, что открывает пути к автоматизации выработки решения, тиражированию опыта наиболее квалифицированных специалистов и т.д.

2. Отношение предпочтения эксперта моделируется в случае использования ФЦ отношения (  ) на множестве действительных чисел. Поскольку (  ) - нестрогий порядок (причём полный - любые два числа сравниваем по этому отношению), то и «прототип», который им моделируется - отношение R должно быть полным нестрогим порядком, т.е. обладать свойством рефлексивности, транзитивности и антисимметричности. Возникает вопрос, достаточно ли этих свойств, чтобы бинарное отношение можно было выразить на языке функций ценности. К сожалению, ответ на поставленный вопрос в общей форме будет отрицательным. Этих свойств недостаточно. Формулируемые ниже теоремы о существовании ФЦ привлекают некоторые дополнительные условия.

Теорема. Если бинарное отношение R есть полный порядок, а множество  -конечно, то ему может быть поставлена в соответствие функция ценности V(x) со строгой шкалой (т.е. различным значениям х соответствуют разные значения V(x)).

Доказательство.

1.В силу полноты R имеем

xRy или yRx или xRy  yRx

последнее, в силу антисимметричности R, влечёт x=y, то окончательно заключаем, что x,y

(xRy)(yRx)  y=x

2.Обратимся к представлению бинарного отношению R его срезами. Определим верхние срезы R в точках x и y :

^u_R (x) ^u_R (y)

Предположим, что xRy, причем xy. Как в этом случае связаны ^u_R(x) и ^u_R(y)? Ясно, что x^u_R(y). Далее, если некторый z таков, что zRx, то в силу транзитивности R: zRy, т.е. z^u_R(y). Последнее означает, что ^u_R(x)^u_R(y). Итак, xRy  ^u_R(x)^u_R(y). Более того, верно и обратное: ^u_R(x)^u_R(y)  xRy. В самом деле, если это не так и yRx, то для z^u_R(y)/^u_R(x) будет иметь zRy, но  zRx, что вступает в противоречие с транзитивностью R. Таким образом, мы установили, что при xy

x R y  ^u_R(x)^u_R(y).

В силу полной симметрии выкладок и рассуждений

y R x ^u_R(y)^u_R(x), (при xy)

и, наконец очевидно, что

x=y  ^u_R(x)=^u_R(y).

3. Построим функцию V(x) по правилу:

V(x) = -^u_R(x),

где  - число элементов множества .

Тогда, если ^u_R(x)^u_R(y), то V(x)>V(y) т.е. при xy

xRy ^u_R(x)^u_R(y)  V(x)>V(y)

при x=y, V(x) = V(y). И, возвращаясь к п.1 наших рассуждений,

либо V(x)>V(y) либо V(y)>V(x), либо V(x)=V(y) при x=y.

Получили требуемое. Подчеркнем, что центральную роль в доказательстве играет возможность подсчёта конечного числа элементов в  и ^u_R(). Что же делать, если всё это не так, т.е.  - непрерывное множество (скажем - область в многомерном евклидовом пространстве, как это часто бывает в приложениях)? Оказывается, что ФЦ при этом может существовать при других дополнительных требованиях к свойствам R. В специальной литературе приводится доказательство большего числа теорем о существовании ФЦ, научный поиск идёт по пути минимализации требований к R, при которых гарантируется существование V(). Приведем пример такого утверждения. Для этого нам потребуются ещё некоторые понятия и определения.

Порядок R называется непрерывным, если ^u_R(x) и ^u_R(y) есть замкнутые множества х,у. (Напомним, что замкнутые - это такие множества, которые содержат все свои предельные точки, а предельные точки, в свою очередь, характеризуются тем, что в сколь угодно малой окрестности их содержатся точки, принадлежащие тому же множеству). В содержательных терминах непрерывность отношения R означает, что если xRy и x^ и y^ весьма близки к x и y соответственно, то x^Ry^. (Или, ещё более наглядно, не имеет место ситуация, когда xRy , но для сколь угодно близких к нам x^ и y^:  x^Ry^).

Теорема. Пусть  - подмножество и n-мерного векторного пространства, R - полный порядок и обладает, кроме того, свойством непрерывности. Тогда функция ценности существует. Утверждение впервые доказано одним из классиков ТПР и носит название теоремы Дебре.

3.Перейдем теперь к вопросу о единственности ФЦ.

Ответ на него, очевидно, отрицательный. В самом деле, если v() - функция ценности, а () - монотонно возрастает, то f(v()) есть также ФЦ. Это значит, что ценность измеряется в порядковой шкале. Хорошо это или плохо? Интересно, на наш взгляд, следующее наблюдение Д.Б. Юдина: поскольку алгоритмы поиска экстремума, как правило, связывают прекращение своей работы с условием получения «весьма малых» приращений функции на очередных итерациях, то в случае с ФЦ такой критерий становится малосодержательным - ведь подбором соответствующей () можно сделать эти приращения сколь угодно большими.

Итак ФЦ, соответствующих одному и тому же R, бесконечно много. Есть ли в этом множестве какие-то инварианты? Да. Рассмотрим бинарное отношение R на подмножестве двумерного векторного пространства ={(x,y)}. Введём предельный коэффициент замещения в точке (x₁,y₂) так:

,

где V(,) и V(,) - первая частная производная по обоим аргументам ФЦ. Формула происходит из соотношения

_(x1,y1),

и вполне аналогична хорошо известной формуле предельной нормы замены для производственной функции. Новый элемент здесь - многозначность ФЦ. Пусть f() - монотонная и v2() = f(v()). Тогда

т.е предельный коэффицент замещения - заметно более «объективный» показатель, чем ФЦ. Как его оценить? Путём эксперимента, диалога с ЛПР. Вопросы должны быть такого типа: «Если у увеличить на  единиц то насколько нужно уменьшить х, чтобы компенсировать данное увеличение по y?»

4.Здесь 2 группы проблем:

- при каких условиях ФЦ будет, например, выпуклой, линейной и т.д.

- при каких условиях ФЦ будет аддитивной, т.е.:

V(x, y) = V_x(x) + V_Y(y)

V(x, y, z) = V_x(x) + V_Y(y) + V_Z(z) и т.д.

Вторая группа особенно важна, поскольку предопределяет организацию взаимодействия с экспертом при построении ФЦ. Рассмотрим её.

Напомним, что понятие независимости по предпочтению мы уже упоминали. Теперь оно нам существенно понадобится. Пусть Eⁿ, т.е. сопоставляются вектора (x₁,,x₄). Множество координат каждого вектора можно разбить на 2 подмножества так, что (с учётом перенумерации)

x=(y, z),

y, z - подмножества, например y = x₁,x₂,x₃, z = x₄,x₅.

Формальное определение. Множество критериев Y независимо по предпочтению от дополняющего его множества Z тогда и только тогда, когда y^,y,

z: (y^,z)R(y,z)  z: (y^,z)R(y,z).

Ещё одно определение. Критерии взаимозависимы по предпочтению, если каждое подмножество этого множества критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения.

Имеет место теорема [2, с.115]. Для N критериев аддитивная функция ценности существует тогда и только тогда, когда критерии взаимозависимы по предпочтению.

Число условий, надлежащих проверке в этой теореме, комбинаторно и потому астрономически велико. К счастью, доказана вспомогательная теорема [2,с.115]:

Если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения, то критерии взаимонезавимсимы по предпочтению. Это позволяет существенно сократить количество проверок. В тех случаях, когда  - есть параллелепипед в n-мерном пространстве (а это очень важный частный случай) т.е.

,

а R таково, что ФЦ - аддитивна, её можно искать в виде:

V(x₁, x₂, ....., x_n) = _iV_i(x_i),

_i = 1, _i >0, i,

где V() таковы, что V_i(x_i)=1, V_i(x_i)=0, V()[0,1], а _i при этом называются шкалирующими коэффициентами. Выгоды такого представления очевидны. Что же всё-таки делать, если взаимозависимость по предпочтению не имеет места? Справедлива следующая теорема [2, с.120].

Пусть даны критерии {x₁,x₂,x₃,x₄}. Если {x₁,x₂} и {x₂,x₃} не зависят по предпочтению от своих дополнений, то  ФЦ вида

V() = f(y, x₄),

где y = V₁(x₁) + V₂(x₂) + V₃(x₃) и функция f() возрастает по своей первой переменной. V - называется при этом частично аддитивной ФЦ.

5. Построение ФЦ осуществляется поэтапно. Последовательность процедур представлена на рис.9