3. Выбор на основе попарного сравнения вариантов

3.1 Определение и свойства бинарных отношений

Во многих случаях, но, как мы увидим в дальнейшем, не всегда, процесс выбора наилучшего объекта из множества предложенных можно свести к попарному сравнению. Математической моделью попарных сравнений являются бинарные отношения. Дадим формальное определение. Обозначим буквой  (омега) всё множество сравниваемых объектов (его называют также исходным множеством альтернатив).

Бинарным отношением R на множестве  называется подмножество декартового произведения множества  самого на себя, которое мы также будем обозначать буквой R, т.е.

R   x 

Если два элемента множества  x и y находятся в отношении R, то этот факт может быть выражен одной из следующих формул :

x, yR или же x R y

Задано, или представлено, бинарное отношение R может быть тремя различными способами: графом, матрицей, и срезами (сечениями). Приведем простой пример бинарного отношения, описанного всеми тремя способами. Рассмотрим систему из четырёх предприятий. Продукция первого предприятия используется третьим и четвёртым. Продукция четвёртого - вторым и первым. Продукция второго - третьим. На таком множестве предприятий можно ввести отношения «является поставщиком». Следует обратить внимание на то, что это отношение - бинарное, хотя в нашей системе есть предприятия, являющиеся поставщиком сразу нескольких других. Дело в том, что для любой пары предприятий имеет смысл выяснение вопроса, является ли первое из выделенных предприятий поставщиком второго.

Задание этого отношения графом осуществляется так. Каждому элементу множества  (предприятию) ставится в соответствие вершина графа. Мы обозначим вершины цифрами от 1 до 4. Затем проводят дуги (направленные линии со стрелками) между вершинами, которые обозначают предприятия, находящиеся в отношении R. Направление стрелки от первого элемента пары, находящейся в отношении R, ко второму, в нашем примере соответствует связи поставщика с потребителем. Полученный таким образом график имеет вид, представленный на рис.4:

1  2

 3  4

Рис.4

То же самое бинарное отношение можно представить в виде матрицы, которая строится, в общем случае, по следующему правилу :

1, если x_i R x_j

a_{i j} = 

0 , В противном случае

(Здесь через x_i обозначены элементы исходного множества альтернатив ).

Для нашего примера получится:

0 0 1 1

A = 0 0 1 0

0 0 0 0

1 1 0 0

Понятно, что представление бинарного отношения графом и матрицей может быть выполнено только в том случае, если множество  - конечно. В этом случае

задание бинарного отношения его срезами (сечениями) более универсально, т.к. может быть использовано и в случае, когда  не является конечным.

Верхний срез отношения R на множестве  в точке x_i определяется так:

^u_r(x_i ) = {y   y R x_i},

а нижний

^d_r (x_i) = {y   x_i R y}.

В нашем примере, если в качестве исходной точки анализа взять x₂ (т.е. второе предприятие), получится:

^u_r (x₂) = {4}, ^d_r (x₂) = {3} и т.д.

Заметим, что некоторые авторы вместо термина срез (сечение) отношения употребляют термин конус (соответственно - верхний и нижний).

Рассмотрим несколько возможных постановок задач субъективных измерений, сводящихся к попарным сравнениям:

- Ранжирование.

- Классификация.

- Выбор наилучшего (наилучших) элемента.

Выясним, какими свойствами должно обладать бинарное отношение, моделирующее парные сравнения, чтобы было возможно решить указанные задачи.

Теорема. Необходимым и достаточным условием того, что предпочтения эксперта могут быть выражены рангами, является ацикличность отношения предпочтения (Предпочтение выражено рангами, если a_ij = 1  r_i  r_j).

Необходимость. Пусть в соответствующем графе существует цикл, содержащий вершину i. Тогда r_i < r_k < r_j .....< r_i, откуда в силу транзитивности отношения «меньше» r_i < r_j, что противоречиво. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть циклов нет. Покажем, что в графе существует единственная вершина, в которую не входит ни одна дуга. Это верно, поскольку если это не так, то будет существовать цикл (в эту вершину тогда можно попасть двигаясь по стрелке) Поставим этой вершине в соответствии ранг 1 и исключим её из рассмотрения. Получим усечённый граф того же типа и т.д. Достаточность доказана.

С матричной формой представления бинарных отношений связаны некоторые термины, используемые в их классификации. В частности, бинарное отношение равенства (точнее - тождества) Е, определяемое соотношениями

x , x E x

x,y , x E y  xy,

называется также диагональным, поскольку в матричном представлении для конечного множества  ему соответствует единичная диагональная матрица.

Прежде чем перейти к классификации бинарных отношений, введём ещё несколько понятий и определений.

Отношение R называется обратным к отношению R, если

x,y, x Ry y R x

Отношение R вложено в отношение R (пишется R R), если

x,y x Ry x Ry (т.е. RR)

Отношение R называется пересечением отношений R и R (записывается R= RR), если

x,y x R y  x Ry x Ry

Отношение R называется объединением отношений R и R(R= RR), если

x,y x R y  x Ry  x Ry

Отношение R называется дополнительным к отношению R₁, если

x,y x R y  x R y ( - логическое отрицание)

Отношение R, дополнительное к обратному R^-1 совпадает с обратным к дополнительному R и называется двойственным по отношению к R.

Проиллюстрируем теперь введённые определения на примере отношения меньше, или равно (  ) на множестве действительных чисел . Обратным отношению (  ) является отношение «больше, или равно» (  ). Отношение «меньше» ( < ) вложено в отношение (  ). Отношение (  ) является объединением отношений «меньше», или «равно». Дополнительным к отношению (  ) является отношение «больше» ( > ). Наконец, двойственные к отношению (  ) будет отношение ( < ). Теперь мы в состоянии перейти к анализу более тонких свойств бинарных отношений.

Отношение R называется рефлексивным, если ER, т.е.

х,у xy  x R y, или x x R x.

Примерами рефлексивных отношений являются отношения: «быть похожим» (каждый человек похож на самого себя), «меньше, или равно» (X, xx).

Отношение R называется антирефлексивным, если RE =, т.е.

x R y   xy .

Примерами антирефлексивных отношений являются отношения «быть отцом» и «меньше». Обратим внимание, что отношение (  ) рефлексивно, а двойственное к нему ( < ) - антирефлексивно. Можно показать, что всегда, если R рефлексивно, R антирефлексивно.

При графическом представлении бинарного отношения в случае его рефлексивности при каждой вершине обязательно будет петля (т.е. стрелка, исходящая из этой вершины и входящая в неё). В матрице, соответствующей рефлексивному бинарному отношению, на главной диагонали стоят единицы.

Отношение R называется симметричным, если R = R (т.е. симметричное отношение совпадает с обратным к нему.

Отношение R называется антисимметричным, если RR E т.е.

x,y x R y  x Ry  xy.

Отношение R называется асимметричным, если RR=, т.е.

x R y  x Ry.

Таким образом, в связи с понятием симметрии выделяют три свойства бинарных отношений, довольно сложно взаимосвязанных между собой. Поясним смысл и взаимосвязь введённых понятий. Во-первых, сразу видно, что симметричность и асимметричность несовместимы, т.е. бинарное отношение R не может быть симметричным и асимметричным. Но симметричность и антисимметричность совместимы. Примером отношения, являющимся симметричным и антисимметричным, может служить отношение равенства E. Действительно,

x E y  xEy x=y (антисимметричность)

E=E (симметричность)

Подробно проанализированное нами выше отношение «меньше», или «равно», на множестве действительных чисел антисимметрично, т.к.

x,y x  y .... y  x  x=y,

но не является симметричным, поскольку в общем случае неверно

x  y  y  x

Бинарное отношение, представленное графом на рис.4, не является симметричным. (В графе симметричного бинарного отношения у каждой дуги имеется парная, направленная навстречу). Одновременно это отношение и не асимметрично т.к. в графе присутствуют дуги (1,4) и (4,1). Наконец, это отношение и не антисимметрично, поскольку (1)R(4)(4)R(1), но (1)(4) (первое и четвёртое предприятия являются поставщиками друг для друга). Этот конкретный пример показывает, что существуют бинарные отношения, не обладающие ни одним из трёх выделенных свойств.

Для дальнейшего изучения свойств отношений нам потребуется ещё одна операция над ними.

Отношение R называется произведением отношений R и R(R=R₁R₂, при R₁=R₂ и R=R₁²), если

x,y x (RR)y  z: x Rz z Ry.

Примеры. Если R=R - «быть отцом», то R=R - «быть дедом». Если R₁=R- «больше, или равно», то R=R - «больше, или равно».

Отношение R называется транзитивным, если R R, т.е.

x,y x R z  z R y_ x R y

Отношение R называется ацикличным, если R^k R=, k.