Влияние изменения параметров зпр на статус альтернативы

Исходный статус альтернативы	ТИП ИЗМЕНЕНИЯ Добавление Исключение Исключение альтернатив критерия критерия не слабо- эффек- эффек- эффек- тивной тивной тивной
Неэффективная	Может Сохраняется Сохра- Сохраня- Может изменяться няется ется измениться
Слабо- эффективная	Сохраняется- Может Сохра- Сохраня- Может измениться няется ется измениться
Эффективная	Может Может Сохра- Сохраня- Сохраня- измениться измениться няется ется ется

Выяснив, как следует использовать множества эффективных и слабоэффективных оценок (и решений), рассмотрим теперь вопрос о способах их нахождения. Оказывается [6], что все решения задачи

,

, где (3.1)

есть слабоэффективные оценки (и т.о. соответствующие им решения, или объекты выбора слабоэффективны), а все решения той же задачи при дополнительном условии _i >0, i - есть оценки, оптимальные по Парето (т.е. эффективные). Отсюда следует, в частности, что множество оптимумов по каждому критерию в отдельности есть подмножество слабоэффективных оценок. Этим приёмом широко пользуются на практике.

Однако, пользуясь им, нельзя забывать о том, что хотя любое решение задачи 3.1. есть эффективная (слабоэффективная) оценка, не всякая эффективная (слабоэффективная ) оценка может быть найдена как решение этой задачи. Это обстоятельство хорошо иллюстрирует случай , изображённый на рис.6

f₂

a b

c d

^*

e

f₁

Рис.6

Множество эффективных оценок здесь - ломаная a b c d е. Однако решая задачу максимизации на функции вида

₁ f+f, (3.2)

мы никогда не получим в качестве оптимального решения точку из интервала (b, d). Это наглядно видно из сопоставления поверхностей уровня функции 3.2, проходящих через точки c и d соответственно (изображены на рис.6 пунктиром). Существует возможность обойти эти трудности.

Справедлива следующая теорема, принадлежащая Ю.Б. Гермейеру.

Теорема. Допустимая оценка у, такая, что все её компоненты положительны, слабоэффективна тогда и только тогда, когда существует вектор ^m, такой, что все его компоненты положительны, в сумме дают единицу, и

Опуская доказательство теоремы, содержащееся, например, в работе [5], приведём вытекающий из неё способ нахождения всех слабоэффективных оценок (с положительными компонентами). Для наглядности рассмотрим его на примере двухкритериальной задачи, иллюстрацией к которой служит рис.6 Построим вспомогательную задачу :

max ,

z  ₁ f₁,

z  ₂ f₂, (3.3)

(ff).

Если решение этой задачи положительно (т.е. f>0, f>0), то, в силу сформулированной только что теоремы (ff) - слабоэффективная точка. (При этом следует отыскивать все решения задачи, обеспечивающие одно и то же значение Z). Перебирая различные значения ₁ и ₂, связанные условием ₁+₂=1, можно получить все слабоэффективные решения, лежащие внутри положительного ортанта.

Дело в том, что поверхности уровня функции

имеют вид, представленный на рис.7

f₂

=arctg ₁/₂

f₁

где они изображены пунктиром. Из того же рисунка видно, что меняя соотношение между ₁ и ₂ , можно добиться смещения экстремальной поверхности уровне в любую точку слабоэффективной границы множества . Возвращаясь к примеру из рис.6, покажем, как обеспечить получение С в качестве решения задачи 3.3 и проиллюстрируем способ нахождения рис.8

f₂

a b

c

d

_с

e f₁

Рис.8

Для этого достаточно положить (Вывод этого простого соотношения предоставляем читателю).