3.2 Классификация бинарных отношений

Выяснив важнейшие свойства бинарных отношений, мы теперь в состоянии дать их классификацию. Для краткости и наглядности представим её в виде табл.1, строки которой соответствуют свойствам отношений, а столбцы - классам. Знак «+» на пересечении строки и столбца означает, что к данному классу относятся бинарные отношения, обладающие данным свойством.

Таблица 1.

Классы Свойства	Квази-порядок	Эквивалентность	Порядок	Строгий порядок
Транзитивность	+	+	+	+
Рефлексивность	+	+	+
Симметричность		+
Антисимметричность			+
Асимметричность				+
Антирефлексивность				+

Приведённая классификация является существенно неполной, ориентированной на рассматриваемые ниже прикладные методы. В нее включены только транзитивные бинарные отношения. (Скажем, представленное на рис.4 графом бинарное отношение в силу своей нетразитивности не является ни квазипорядком, ни эквивалентностью, ни порядком, ни строгим порядком).

Для дальнейшего рассуждения нам понадобится ещё одно понятие.

Если x,y в т.ч. при x=y справедливо либо x R y, либо y R x, то бинарное отношение R называется полным (связным). В противном случае отношение R частичное. Так, отношение, соответствующее рис.4, - частичное. Понятно также, что всякое антирефлексивное отношение - частичное (например - строгий порядок).

Рассмотрим теперь несколько примеров бинарных отношений на множестве векторов m - мерного пространства. Эти отношения имеют особое прикладное значение, поскольку в практических задачах принятия решений каждому объекту выбора ставится в соответствие в большинстве случаев именно набор (векторов) числовых оценок.

Символами , , > будем обозначать бинарные отношения, определяемые правилами:

a()b  a b, i = 1,m

a(  )b  a  b  a  b

a( > )b  a> bi = 1,m

Воспользовавшись приведённой таблицей, нетрудно убедиться в том, что () - частичный порядок, a (  ) и ( > ) - строгие частичные порядки.

3.3 Формализация понятия наилучшего элемента

Введённая математическая формализация процедур попарного сравнения объектов выбора позволяет перейти к формализации самой задачи отбора одного или нескольких наилучших вариантов. Нашему обыденному представлению о «лучшем» объекте в математической теории принятия решений соответствует несколько понятий.

Элемент x называется оптимальным по отношению R на , если

y, x R y.

Элемент x называется мажорантой по отношению R на , если

y, yx, т.е. не существует во множестве  элемента y, такого что y R x.

Меняя в приведённых формулах отношений x и y местами, получим, соответственно, определение наихудшего элемента и миноранты.

Пусть теперь множеству объектов выбора  сопоставлено множество векторных оценок . Рассмотрим тот наиболее распространённый в экономических приложениях случай, когда для каждой из оценок предпочтительно наибольшее значение и все оценки (критерии) независимы по ценности. Математическая модель такой задачи выбора называется [5] задачей многокритериальной максимизации. Естественно считать, что в указанных условиях, если x,y и x()y, то векторная оценка x предпочтительнее векторной оценки y, или, по крайне мере, не хуже её. Поэтому в качестве лучшего следовало бы выбрать вариант (или варианты, если их несколько), имеющий оптимальную по отношению () на  оценку. Нетрудно показать, что в силу антисимметричности отношения () такая оценка единственна. Однако на практике чаще всего оказывается, что эта оценка не существует в , т.е. максимальное значение всех оценочных показателей одновременно недостижимо. Это происходит в силу функциональной и статистической зависимости между критериями: их значения не могут быть установлены независимо друг от друга. Множество мажорант по отношению () в силу его рефлексивности пусто, поэтому приходится обращаться к отношениям (  ) и ( > ). Оптимальных элементов по этим отношениям не может быть в принципе, так они антирефлексивны, т.е. неверно x(  )x и x( > )x. А вот множества мажорант по этим отношениям в общем случае не пусты и имеют важнейшее значение в теории многокритериальной оптимизации.

Множество мажорант по отношению (  ) называется множеством эффективных оценок, или множеством оценок, оптимальных по Парето.

Множество мажорант по отношению ( > ) называется множеством слабоэффективных оценок, ли множеством оценок, оптимальных по Слейтеру.

Нетрудно показать, что всякая эффективная оценка является и слабоэффективной, а обратное в общем случае неверно. Веденное понятие для двумерного случая (когда  Е) иллюстрирует рис.5

Рис.5

Видно, что множество слабоэффективных оценок представляет собой часть границы множества , включающего горизонтальные и вертикальные её отрезки ([a,b], [d,c], [h,p]). Отметим, что вертикальный участок [e,f] не включается во множество слабоэффективных решений, поскольку на отрезке [g,h] есть оценки, лучшие как по первому критерию (вертикальная ось), так и по второму (горизонтальная ось координат). Точка С, не принадлежащая , есть оптимальный элемент по отношению () на множестве, являющемся расширением (показано пунктиром). На множестве оптимума по () нет. Иначе говоря, оценки, оптимальные по Слейтеру, не могут быть улучшены сразу по всему набору критериев, а оценки, оптимальные по Парето - ни по одному (при сохранении значений прочих). Поэтому эффективные оценки «лучше» слабоэффективных. Рассмотрение слабоэффективных оценок оправдано в ситуации, когда набор критериев оценки объектов выбора не является с самого начала полностью определённым. Эту ситуацию мы рассмотрим чуть ниже, а сейчас подчеркнем, что поиск эффективных решений (в смысле Парето) - центральная задача в области многокритериальной оптимизации. Именно эта задача может и должна решаться формальными методами. Объект, который будет в конце концов выбран, принадлежит паретовскому множеству, а оно может быть выделено формальным путём, без привлечения эксперта или лица, принимающего решение. Большое значение имеет тот факт, что множество эффективных оценок значительно уже всего множества ^*. Это позволяет в некоторых случаях ограничить формализованную часть процесса выработки решения только поиском паретовского множества, которое затем целиком представляется лицу, принадлежащему решение.

До сих пор мы рассматривали задачу выбора в ситуации, когда бинарное отношение на множестве  было известно (задано) сразу. Однако довольно распространённым является постепенное выявление отношения R в процессе решения задачи выбора. Оно может оцениваться в форме анкетирования, интервьюирования эксперта, диалога за пультом ЭВМ и т.д. По мере получения данных можно на каждом шаге выделять множество мажорант по отношению R на . Понятно, что с каждым шагом оно уменьшается. Возникает вопрос, можно ли на следующем шаге процесса не рассматривать оценки (объекты), не вошедшие на данном шаге во множестве мажорант? Оказывается можно, если множество мажорант по R на  (будем обозначать его в дальнейшем ) обладает свойством внешней устойчивости. Множество называетсявнешне устойчивым, если а b: b,b R a. Таким образом, отбросив не вошедший в данного шага (а значит - и последующих) элемент а, мы имеем гарантию, что сохраним в нём элемент, лучший (не худший), чем а. Можно доказать, что если  конечно, а R - строгий порядок, то  - внешне устойчиво. Причинами нарушения свойства внешней устойчивости  могут быть нетранзитивность R и бесконечность множества исходных альтернатив .

Очень важно, что если решается задача выбора не одного, а нескольких лучших элементов из , то даже в том случае, если  конечно, а R - строгий частичный порядок, ограничивать дальнейший поиск на каждом шаге множества  нельзя. Поясним это простым примером. Пусть имеется три управленческих мероприятия, и на первом шаге работы алгоритма мы выяснили, что с точки зрения эксперта первое мероприятие лучше (эффективнее) третьего. Таким образом ={1, 2}. Если мы можем реализовать только одно мероприятие, то третье можно отбросить, поскольку даже если третье лучше второго (лучше первого оно быть не может в силу асимметричности R), это лишь будет означать, что самое лучшее мероприятие первое, а оно содержится в  первого шага. Если же можно реализовать (а следовательно, нужно отобрать) два мероприятия, то отбрасывать мероприятие номер три по результатам первого шага нельзя, т.к. если окажется, что, по мнению эксперта, третье мероприятие эффективнее второго и первое эффективнее второго, то лучшими в таком случае будут мероприятия номер один и три.

Пример, конечно, упрощённый, однако он наглядно иллюстрирует следующее: при проектировании процедуры принятия решения необходимо сразу ориентироваться либо на выбор одного наилучшего варианта, либо на выбор нескольких наилучших вариантов. «Переключения» с одного режима на другой в процессе реализации алгоритма должны быть запрещены для лица, принимающего решения. Они могут приводить к снижению эффективности алгоритма за счёт хранения и анализа избыточных объёмов информации или, при отсутствии такой избыточности, к неверным результатам решения задачи выбора.

В конкретных задачах принятия решений формирование набора критериев может оказаться достаточно сложной проблемой. Один из подходов к её решению состоит в том, что сначала надо сформировать максимально полный перечень критериев, а затем, в процессе решения, отбросить лишнее, несущественное. В связи с этим возникает вопрос, как соотносятся множества эффективных и слабоэффективных оценок по полному и сокращённому набору критериев. Оказывается [6], что множества эффективных оценок в общем случае не связаны, а множество слабоэффективных оценок по сокращённому набору критериев вложено во множестве слабоэффективных решений по полному набору критериев.

Таким образом, приходим к следующему выводу: если набор критериев оценки альтернатив является предварительным и в дальнейшем будет сокращаться, процедура формального анализа должна быть нацелена на выделение множества слабоэффективных (а не только эффективных) оценок.

Пусть у нас имеется некоторое конечное множество альтернатив, оцененных по m критериям. Каждой альтернативе, таким образом, соответствует n - мерный вектор оценок, которые мы будем обозначать буквами латинского алфавита. В совокупности эти векторы образуют матрицу mn, где m - число альтернатив (альтернативам соответствуют строки матрицы). Задавшись этой матрицей, найдем множество эффективных и слабоэффективных альтернатив и посмотрим, как повлияет на эти множества добавление и исключение критериев и альтернатив.

Добавление критериев. Наши альтернативы разделены на три множества: неэффективных, слабоэффективных и эффективных альтернатив. Последние два, вообще говоря, пересекающиеся, но в дальнейшем для краткости, говоря о слабоэффективных альтернативах, мы будем подразумевать только те из них, которые обладают свойством слабойэффективности, а не эффективности. Итак, что же произойдет с неэффективными альтернативами при добавлении критерия Они могут превратиться в слабоэффективные и даже эффективные. Пусть альтернатива a - неэффективная. Это значит, что в нашей матрице есть такая альтернатива b, что

a_i> b_i, i=1n.

Таких альтернатив может быть несколько. Если значение a_n+1 таково, что a_n+1=b_n+1 и b_n+1- максимальное значение (n+1)-й координаты среди доминирующих a альтернатив, то альтернатива a становится слабоэффективной, если же a_n+1>b_n+1, то эффективной. Таким образом, статус неэффективной альтернативы может измениться.

Слабоэффективная альтернатива может сохранить этот свой статус при добавлении критерия, а может превратиться в эффективную. Докажем , что она по крайней мере сохранит свой слабоэффективный статус. Предположим противное, т.е. что слабоэффективная альтернатива a в результате добавления критерия стала неэффективной. Это означает, что существует такая альтернатива b, что

a_i< b_i, i=1n+1

Но отсюда следует, что

a_i< b_i, i=1n,

что невозможно при слабоэффективной альтернативе a. Таким образом, множество слабоэффективных решений по сокращенному набору критериев вложено в множество эффективных решений по полному набору критериев.

Превращение слабоэффективной альтернативы в эффективную может произойти так. Пусть a - слабоэффективная. Это означает, что в нашей матрице нет такой альтернативы c, что

a_i< с_i, i=1n,

но есть такая альтернатива b, что

a_i  b_i, i=1n,

(иными словами, для некоторого i: a_i=b_i). Достаточно, чтобы a_n+1>b_n+1, и альтернатива a становится эффективной.

Если альтернатива a была эффективной до добавления критерия, то после его добавления она останется как минимум слабоэффективной (это следует из только что доказанного). Но может и сохранить свою эффективность. Рассмотрим условия, при которых эффективная альтернатива может превратиться в слабоэффективную при добавлении критерия. Пусть это альтернатива a. То, что она стала слабоэффективной после добавления критерия n+1, означает, что в матрице существует такая альтернатива b, что

a_i b_i, i=1n+1,

но неверно, что

a_i< b_i, i=1n+1

(т.е. по крайней мере одно из n+1 неравенств выполняется как равенство). То, что альтернатива a была эффективной при n критериях, означает, что для альтернативы b из той же матрицы соотношение

a_i b_i, i=1n

может выполняться только в форме равенства. Таким образом, приходим к следующему выводу: если эффективная при n критериях альтернатива a превратилась с введением в анализ n+1 критерия в слабоэффективную, это значит, что в матрице существует такая альтернатива b, что a_i=b_i, i=1n. При числе критериев n такие альтернативы мы будем называть двойниками. Итак, эффективная альтернатива может с введением дополнительного критерия превратиться в слабоэффективную, но только в том случае, если имеют место двойники. Если же у эффективной альтернативы нет двойников, то с введением дополнительного критерия ее эффективность сохранится.

Исключение критерия. Поскольку неэффективная альтернатива a характеризуется тем, что среди допустимых есть такая альтернатива b, что

a_i< b_i, i=1n,

то исключение любого критерия не меняет ситуацию качественно: неэффективная альтернатива останется неэффективной.

Альтернатива a может быть слабоэффективной при

a_i< b_i, i=1n

a_k =b_k, ik

и отсутствие среди допустимых такой альтернативы c, что

a_i< с_i, i=1n

Если удалить k-й критерий, то альтернатива a станет неэффективной. Если же имеет место ситуация:

a_i=b_i, i=1n

a_k< b_k, ik,

то удаление k-го критерия приведет к тому, что альтернативы a и b станут двойниками и, если b - эффективная, то а также станет эффективной. Таким образом, исключение критерия может превратить слабоэффективную альтернативу как в эффективную, так и в неэффективную. Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что исключение критерия может превратить эффективную альтернативу как в неэффективную, так и в слабоэффективную.

Исключение неэффективной альтернативы, что вполне очевидно, не влияет на неэффективность, слабоэффективность или эффективность какой-либо альтернативы.

Последствия исключения слабоэффективной альтернативы несколько менее очевидны. Тем не менее, и в этом случае анализ несложен.

Пусть a - неэффективная альтернатива. Это значит, что среди допустимых есть по крайней мере одна такая альтернатива b, что

a_i< b_i, i=1n

Статус альтернативы a мог бы измениться, если бы оказалось, что альтернатива b единственная и к тому же слабоэффективная. Однако это невозможно. В самом деле, если b - слабоэффективная, то существует такая альтернатива c, что

b_i с_i, i=1n,

и тогда в силу транзитивности

a_i < с_i, i=1n

Поэтому удаление слабоэффективной альтернативы не может изменить статус неэффективной альтернативы.

Аналогичным методом легко доказать, что статус и слабоэффективной альтернативы не изменяется при удалении какой-либо другой слабоэффективной альтернативы.

Наконец, вполне очевидно, статус эффективной альтернативы не изменится при удалении какой-либо слабоэффективной альтернативы.

Удаление эффективной альтернативы может изменить статус неэффективной или слабоэффективной (если она их доминирует) и не может изменить статус другой эффективной альтернативы.

Обобщим полученные результаты и представим в табличной форме (см. табл.2).

Таблица 2.