
- •Введение
- •1. Задачи принятия решений, их формализация и автоматизация.
- •1.1Основные понятия
- •1.2 Процесс принятия решений и его модели
- •1.3 Модель в. Врума
- •1.4 Теория принятия решений и исследование операций
- •1.5 Классификация задач принятия решений
- •2. Теория и методы измерений
- •2.1 Оценка вариантов решений. Измерение и шкалы
- •2.2 Виды зависимости между показателями
- •3. Выбор на основе попарного сравнения вариантов
- •3.1 Определение и свойства бинарных отношений
- •0 , В противном случае
- •3.2 Классификация бинарных отношений
- •3.3 Формализация понятия наилучшего элемента
- •Влияние изменения параметров зпр на статус альтернативы
- •4. Функции ценности, полезности и выбора
- •4.1Функции ценности
- •1.Проверка независимости
- •4.3 Стохастическое доминирование
- •4.4 Функции выбора
- •5.Принятие решений в условиях многокритериальности
- •5.1 Источники многокритериальности в зпр в управлении экономикой
- •5.2 Пример процедуры - процедура Михайловского
- •5.3 ПроцедураЗайонца - Валлениуса
- •5.4 Метод электра.
- •6. Нечёткие задачи оптимизации
- •Литература
- •Содержание
4.4 Функции выбора
Более общей (по сравнению с бинарными отношениями) математической моделью процессов выбора являются так называемые функции выбора. Основная идея их введения связана с необходимостью учёта зависимости результата сравнения по предпочтительности двух объектов выбора от всей совокупности предложенных для выбора объектов. Причину появления такой зависимости в практических задачах можно пояснить следующим примером.
Пусть теоретически возможными для конкретных производственных условий являются три управленческих мероприятия, которые мы для краткости обозначим A, B и C. При этом оптимальные, по мнению ЛПР, результаты получаются при совместной реализации мероприятий B и C. Если же наличные ресурсы не позволяют реализовать эти мероприятия совместно, то предпочтительнее использовать мероприятие А. Таким образом, ответить на вопрос, какое из двух мероприятий А и В лучше, нельзя. Ответ на него зависит от того, можно ли реализовать мероприятие С.
Дадим формальное определение. Функцией выбора называется тройка
(,
Х,
С: Х
),
где - исходное множество;
-
множество всех подмножеств;
Х - множество допустимых предъявлений (область определения функции
выбора);
C - отображение допустимых предъявлений во множество подмножеств
, моделирующее выбор (т.е. собственно функция выбора).
Если на задано бинарное отношение, то по нему можно построить, причём множеством способов, функцию выбора. С некоторыми из этих способов мы уже познакомились. Это, во-первых.
-
функция
блокировки (выбирается
множество мажорант по отношению R
на
X).
Вторым примером является так называемая функция предпочтения
,
где XRMAX
-
множество
максимумов на X
по отношению R.
Третий пример - турнирная
функция
Особое
значение в математической теории выбора
придается функциям CRП(X)
и CRБ(X),
которые называются нормальными функциями
выбора. А сколько же их всего?
Оказывается [6],
что общее число различных функций выбора
на конечном множестве
равно
,
гдеN=(число
элементов в ).
Это число растет довольно быстро в
зависимости от N:
так,
например, при N=2
имеется 16 различных функций выбора.
Функции выбора, построенные по разным бинарным отношениям, могут совпадать, поэтому «восстановить» бинарное отношение по известной функции выбора в общем случае невозможно. Рассмотрим два бинарных отношения, заданные графами и представленные на рис.13
x y x y
а) б)
Рис.13
т.е
СБR1=
CБR2,
в
то время как R1
R2.
Среди возможных функций выбора есть такие, которые не могут быть представлены ни как блокировки, ни как предпочтения ни по одному бинарному отношению. Этот факт несложно проиллюстрировать разобранным выше примером и тремя мероприятиями А, В и С, что мы и представляем читателю. С другой стороны, произвольная функция выбора может быть представлена как композиция определенного числа нормальных. Имеется в виду следующее. Пусть R1...Rk бинарные отношения на , а (1...k) - булева функция (т.е. сама функция и ее аргументы принимают только два значения: 0 или 1), аргументы которой определяются следующим образом:
Тогда C(x) называется - композицией блокировок CБR1(x) CБRk(x), если
xC(x) (1 , k) = 1 .
Важнейшие формы - композиций:
функция голосования
m (1 k) = p1, , pd,
где дизъюнкция (логическое «или») берется по всем наборам длины
d = [k / 2]+1.
(Смысл записанной формулы состоит попросту в том, что элемент выбирается функцией выбора тогда и только тогда, когда он выбирается более половиной частных функций выбора СБRi(x). Это объясняет название функции композиции m);
пороговая функция
n(1, ,k) = 1 ai i T.
Эта функция дает возможность учитывать «важность», приписываемую частной функции выбора СБR1(x), за счет варьирования значений коэффициентов ai.
Интерпретация композиций (и декомпозиций) функций выбора представляет интерес с практической точки зрения. Композицию можно рассматривать как результат совместного выбора группой лиц, принимающих решения, а декомпозицию - как разложение сложной проблемы выбора на ряд более простых за счет выделения различных аспектов оценки вариантов.