4.4 Функции выбора

Более общей (по сравнению с бинарными отношениями) математической моделью процессов выбора являются так называемые функции выбора. Основная идея их введения связана с необходимостью учёта зависимости результата сравнения по предпочтительности двух объектов выбора от всей совокупности предложенных для выбора объектов. Причину появления такой зависимости в практических задачах можно пояснить следующим примером.

Пусть теоретически возможными для конкретных производственных условий являются три управленческих мероприятия, которые мы для краткости обозначим A, B и C. При этом оптимальные, по мнению ЛПР, результаты получаются при совместной реализации мероприятий B и C. Если же наличные ресурсы не позволяют реализовать эти мероприятия совместно, то предпочтительнее использовать мероприятие А. Таким образом, ответить на вопрос, какое из двух мероприятий А и В лучше, нельзя. Ответ на него зависит от того, можно ли реализовать мероприятие С.

Дадим формальное определение. Функцией выбора называется тройка

(, Х, С: Х),

где - исходное множество;

- множество всех подмножеств;

Х - множество допустимых предъявлений (область определения функции

выбора);

C - отображение допустимых предъявлений во множество подмножеств

, моделирующее выбор (т.е. собственно функция выбора).

Если на  задано бинарное отношение, то по нему можно построить, причём множеством способов, функцию выбора. С некоторыми из этих способов мы уже познакомились. Это, во-первых.

- функция блокировки (выбирается множество мажорант по отношению R на X).

Вторым примером является так называемая функция предпочтения

, где X^R_MAX - множество максимумов на X по отношению R. Третий пример - турнирная функция

Особое значение в математической теории выбора придается функциям C_R^П(X) и C_R^Б(X), которые называются нормальными функциями выбора. А сколько же их всего? Оказывается [6], что общее число различных функций выбора на конечном множестве  равно , гдеN=(число элементов в ). Это число растет довольно быстро в зависимости от N: так, например, при N=2 имеется 16 различных функций выбора.

Функции выбора, построенные по разным бинарным отношениям, могут совпадать, поэтому «восстановить» бинарное отношение по известной функции выбора в общем случае невозможно. Рассмотрим два бинарных отношения, заданные графами и представленные на рис.13

  

x y x y

а) б)

Рис.13

т.е С^Б_R1= C^Б_R2, в то время как R₁  R₂.

Среди возможных функций выбора есть такие, которые не могут быть представлены ни как блокировки, ни как предпочтения ни по одному бинарному отношению. Этот факт несложно проиллюстрировать разобранным выше примером и тремя мероприятиями А, В и С, что мы и представляем читателю. С другой стороны, произвольная функция выбора может быть представлена как композиция определенного числа нормальных. Имеется в виду следующее. Пусть R₁...R_k бинарные отношения на , а (₁..._k) - булева функция (т.е. сама функция и ее аргументы принимают только два значения: 0 или 1), аргументы которой определяются следующим образом:

Тогда C(x) называется  - композицией блокировок C^Б_R1(x)  C^Б_Rk(x), если

xC(x)  (₁ , _k) = 1 .

Важнейшие формы  - композиций:

• функция голосования

_m (₁  _k) = _p1, , _pd,

где дизъюнкция (логическое «или») берется по всем наборам длины

d = [k / 2]+1.

(Смысл записанной формулы состоит попросту в том, что элемент выбирается функцией выбора тогда и только тогда, когда он выбирается более половиной частных функций выбора С^Б_Ri(x). Это объясняет название функции композиции _m);

• пороговая функция

_n(₁, ,_k) = 1  a_i _i  T.

Эта функция дает возможность учитывать «важность», приписываемую частной функции выбора С^Б_R1(x), за счет варьирования значений коэффициентов a_i.

Интерпретация композиций (и декомпозиций) функций выбора представляет интерес с практической точки зрения. Композицию можно рассматривать как результат совместного выбора группой лиц, принимающих решения, а декомпозицию - как разложение сложной проблемы выбора на ряд более простых за счет выделения различных аспектов оценки вариантов.