4.3 Стохастическое доминирование

Теория Неймана-Моргенштерна, отвечая на вопрос о принципе и способе выбора наилучшей альтернативы в условиях риска, оставляет открытым вопрос о степени общности получаемых на её основе рекомендаций. Поэтому предъявляются исключительно высокие требования к точности построений ФП (если она другая, то результат получится другой). В то же время ясно, что некоторые лотереи (т.е. альтернативы) могут отличаться друг от друга таким образом, что .любой принимающий решение, независимо от конкретного вида его ФП (или при очень больших требованиях к этому виду) будет предпочитать одну лотерею другой. Такая ситуация исследуется в теории стохастического доминирования. Различают понятие стохастического доминирования первого и второго порядка в зависимости от того, накладываются ли при этом ограничения на знак только первой или первой и второй производных функций полезности. Ограничения берутся такие: u^()>0 - возрастание полезности с ростом значения аргумента и u^()<0 - несклонноcть к риску.

Теорема. Все ЛПР с u^()>0 предпочитают случайную величину y случайной величине x тогда и только тогда, когда для любого t [min(y,x), max(y,x)],

F(t)  G(t)

и по крайне мере для одного t неравенство строгое где F() и G() - функции распределения x и y соответственно.

Доказательство.

Достаточность. (предпочтение F(t)G(t)) Если ЛПР предпочитает yRx, то E[u(y)] > E[u(x)]. Это можно переписать в виде:

a

 u(t)[g(t)-f(t)]dt >0,

b

где a = min(y,x), b = max(y,x) и g(t) и f(t)- функции плотности распределения у и х. Используя правило интегрирования по частям, выражение в правой части можно переписать в виде:

b b

u(t)[G(t)-F(t)] - u'(t)[G(t)-F(t)]dt >0.

a a

Поскольку G(b)=F(b)=1 и G(a)=F(a)=0,то отсюда

b

- u'(t)[G(t)-F(t)]dt >0.

a

При u'(t)>0 и F(t)G(t) (при одном из t неравенство строгое) это последнее неравенство выполняется. Следовательно, с учетом эквивалентности всех сделанных нами преобразований,

Е[u(y)]>E[u(x)].

Необходимость. (предпочтение  F(t)G(t)) Предположим, что F(t)<G(t) на некотором интервале. Покажем, что при этом можно подобрать такую ФП, что

E[u(y)]<E[u(x)]. Для этого достаточно, чтобы u'()>0 было достаточно малым числом вне указанного интервала и достаточно большим внутри. Иллюстрация выше приведенных рассуждений приведена на рис.11

U(x)

F(t)>G(t) F(t)<G(t) F(t)>G(t)

Рис.11

Примеры таких функций F и G представлены на рис.12 (а и б).

F F

G G

Рис.12а Рис.12б

Функции F и G могут, однако, пересекаться и более замысловато. Что тогда? На помощь приходит понятиестохастического доминирования второго порядка.

В 1970 году Ротшильд и Стиглиц доказали, что если E[x]=E[y] и

s s

 F(t)dt   G(t)dt, sb

a a

(все обозначения - прежние), то все несклонные к риску ЛПР (т.е. имеющие u''()<0) предпочтут y, а не x.