- •Государственный университет управления
- •Этап 1. Постановка задачи принятия решения.
- •Этап 2. Проверка допущений о независимости.
- •Этап 3. Построение условных функций полезности.
- •Этап 4. Нахождение значений шкалирующих констант и построение трехфакторной функции полезности.
- •Этап 5. Проверка согласованности построенной функции полезности с системой предпочтений лпр
- •Выводы по проекту.
- •Список литературы.
Этап 2. Проверка допущений о независимости.
Для построения многофакторной функции полезности необходимым является условие независимости факторов. Существуют различные виды независимости факторов: аддитивная, мультипликативная, полилинейная и т. д. В зависимости от вида независимости будем иметь различные формулы для выражения функции полезности через функции полезности по отдельным факторам. Поэтому начнем с определения типа независимости факторов друг от друга. Самым слабым из условий независимости является односторонняя независимость по полезности, самым сильным - аддитивная независимость.
Выведем тип независимости факторов Y, Z и X.
В нашем примере имеем следующие факторы и интервалы их изменения:
X– ежегодный объём реализации металлопроката, в тыс. тонн, изменяется от 150 до 250. полезность с возрастанием фактора монотонно увеличивается,
Y - время строительства, в месяцах, Y принадлежит интервалу (8, 24), полезность с возрастанием фактора монотонно уменьшается,
Z – совокупные затраты на строительные работы, в млн. руб., Z имеет пределы (100, 300), полезность с возрастанием фактора монотонно уменьшается.
Для выявления независимости неоднократно проводится следующий эксперимент:
ЛПР предъявляется лотерея с равновероятными исходами:
<(Ymin, Z), (Ymax, Z)> при Х=const,
<(Zmin, Y), (Zmax, Y)> при Х=const,
<(Хmin, Z), (Хmax, Z)> при Y=const,
<(Zmin, X), (Zmax, X)> при Y=const,
<(Ymin, X), (Ymax, X)> при Z=const,
<(Xmin, Y), (Xmax, Y)> при Z=const
и находятся их детерминированные эквиваленты вида (Y, Z, X).
Лотерея вида <(8, Z), (24, Z)>, X- фиксированный
Лотерея вида <(Y, 100), (Y, 300)>, X- фиксированный
Лотерея вида <(150, Z), (250,Z)>, Y - фиксированный
Лотерея вида <(X, 100), (X, 300)>,Y- фиксированный
Лотерея вида <(8, X), (24,X)>,Z- фиксированный
Лотерея вида <(Y, 150), (Y, 250)>, Z- фиксированный
Рациональным приемом отыскания величины детерминированного эквивалента является метод "вилки". Протокол эксперимента ведется в следующей форме:
Лотерея вида <(8, Z), (24, Z)>, X- фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Z1=150; X=const) |
|
Значение постоянного фактора (Z2=190; X=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
10 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
10 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
22 |
детерминированный исход |
|
2 |
22 |
детерминированный исход |
|
3 |
12 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
12 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
5 |
14 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
14 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
18 |
детерминированный исход |
|
6 |
18 |
детерминированный исход |
|
7 |
16 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
16 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
17 |
все равно |
|
8 |
17 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 4 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Z3=220; X=const) |
|
Значение постоянного фактора (Z4=290; X=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
10 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
10 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
22 |
детерминированный исход |
|
2 |
22 |
детерминированный исход |
|
3 |
12 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
12 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
5 |
14 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
14 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
18 |
детерминированный исход |
|
6 |
18 |
детерминированный исход |
|
7 |
16 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
16 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
17 |
все равно |
|
8 |
17 |
все равно |
Лотерея вида <(Y, 100), (Y, 300)>, X- фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Y1=10; X=const) |
|
Значение постоянного фактора (Y2=15; X=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
120 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
120 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
280 |
детерминированный исход |
|
2 |
280 |
детерминированный исход |
|
3 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
260 |
детерминированный исход |
|
4 |
260 |
детерминированный исход |
|
5 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
240 |
детерминированный исход |
|
6 |
240 |
детерминированный исход |
|
7 |
160 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
160 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
220 |
детерминированный исход |
|
8 |
220 |
детерминированный исход |
|
9 |
180 |
предпочтительней лотерея |
|
9 |
180 |
предпочтительней лотерея |
|
10 |
200 |
предпочтительней лотерея |
|
10 |
200 |
предпочтительней лотерея |
|
11 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
11 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
12 |
215 |
все равно |
|
12 |
215 |
все равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 4 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Y3=18; X=const) |
|
Значение постоянного фактора (Y4=21; X=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
120 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
120 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
280 |
детерминированный исход |
|
2 |
280 |
детерминированный исход |
|
3 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
260 |
детерминированный исход |
|
4 |
260 |
детерминированный исход |
|
5 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
240 |
детерминированный исход |
|
6 |
240 |
детерминированный исход |
|
7 |
160 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
160 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
220 |
детерминированный исход |
|
8 |
220 |
детерминированный исход |
|
9 |
180 |
предпочтительней лотерея |
|
9 |
180 |
предпочтительней лотерея |
|
10 |
200 |
предпочтительней лотерея |
|
10 |
200 |
предпочтительней лотерея |
|
11 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
11 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
12 |
215 |
все равно |
|
12 |
215 |
все равно |
Таким образом, Y и Z взаимно независимы по полезности от Х.
Лотерея вида <(150, Z), (250,Z)>, Y - фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Z1=110; Y=const) |
|
Значение постоянного фактора (Z2=160; Y=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
240 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
240 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
160 |
детерминированный исход |
|
2 |
160 |
детерминированный исход |
|
3 |
230 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
230 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
170 |
детерминированный исход |
|
4 |
170 |
детерминированный исход |
|
5 |
220 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
220 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
180 |
детерминированный исход |
|
6 |
180 |
детерминированный исход |
|
7 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
190 |
детерминированный исход |
|
8 |
190 |
детерминированный исход |
|
9 |
200 |
детерминированный исход |
|
9 |
200 |
детерминированный исход |
|
10 |
205 |
все равно |
|
10 |
205 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 4 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Z3=220; Y=const) |
|
Значение постоянного фактора (Z4=290; Y=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
240 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
240 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
160 |
детерминированный исход |
|
2 |
160 |
детерминированный исход |
|
3 |
230 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
230 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
170 |
детерминированный исход |
|
4 |
170 |
детерминированный исход |
|
5 |
220 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
220 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
180 |
детерминированный исход |
|
6 |
180 |
детерминированный исход |
|
7 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
190 |
детерминированный исход |
|
8 |
190 |
детерминированный исход |
|
9 |
200 |
детерминированный исход |
|
9 |
200 |
детерминированный исход |
|
10 |
205 |
все равно |
|
10 |
205 |
все равно |
Лотерея вида <(X, 100), (X, 300)>,Y– фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (X1=160; Y=const) |
|
Значение постоянного фактора (X2=180; Y=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
120 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
120 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
280 |
детерминированный исход |
|
2 |
280 |
детерминированный исход |
|
3 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
260 |
детерминированный исход |
|
4 |
260 |
детерминированный исход |
|
5 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
240 |
детерминированный исход |
|
6 |
240 |
детерминированный исход |
|
7 |
160 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
160 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
220 |
детерминированный исход |
|
8 |
220 |
детерминированный исход |
|
9 |
180 |
предпочтительней лотерея |
|
9 |
180 |
предпочтительней лотерея |
|
10 |
200 |
предпочтительней лотерея |
|
10 |
200 |
предпочтительней лотерея |
|
11 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
11 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
12 |
215 |
все равно |
|
12 |
215 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 4 | ||||
|
Значение постоянного фактора (X3=210; Y=const) |
|
Значение постоянного фактора (X4=240; Y=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
120 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
120 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
280 |
детерминированный исход |
|
2 |
280 |
детерминированный исход |
|
3 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
260 |
детерминированный исход |
|
4 |
260 |
детерминированный исход |
|
5 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
140 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
240 |
детерминированный исход |
|
6 |
240 |
детерминированный исход |
|
7 |
160 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
160 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
220 |
детерминированный исход |
|
8 |
220 |
детерминированный исход |
|
9 |
180 |
предпочтительней лотерея |
|
9 |
180 |
предпочтительней лотерея |
|
10 |
200 |
предпочтительней лотерея |
|
10 |
200 |
предпочтительней лотерея |
|
11 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
11 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
12 |
215 |
все равно |
|
12 |
215 |
все равно |
Таким образом, Xи Z взаимно независимы по полезности отY.
Лотерея вида <(8, X), (24,X)>,Z- фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (X1=160; Z=const) |
|
Значение постоянного фактора (X2=180; Z=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
10 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
10 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
22 |
детерминированный исход |
|
2 |
22 |
детерминированный исход |
|
3 |
12 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
12 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
5 |
14 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
14 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
18 |
детерминированный исход |
|
6 |
18 |
детерминированный исход |
|
7 |
16 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
16 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
17 |
все равно |
|
8 |
17 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 4 | ||||
|
Значение постоянного фактора (X3=210; Z=const) |
|
Значение постоянного фактора (X4=240; Z=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
10 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
10 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
22 |
детерминированный исход |
|
2 |
22 |
детерминированный исход |
|
3 |
12 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
12 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
4 |
20 |
детерминированный исход |
|
5 |
14 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
14 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
18 |
детерминированный исход |
|
6 |
18 |
детерминированный исход |
|
7 |
16 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
16 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
17 |
все равно |
|
8 |
17 |
все равно |
Лотерея вида <(Y, 150), (Y, 250)>, Z- фиксированный
|
Испытание № 1 |
|
Испытание № 2 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Y1=10; Z=const) |
|
Значение постоянного фактора (Y2=15; Z=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
240 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
240 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
160 |
детерминированный исход |
|
2 |
160 |
детерминированный исход |
|
3 |
230 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
230 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
170 |
детерминированный исход |
|
4 |
170 |
детерминированный исход |
|
5 |
220 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
220 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
180 |
детерминированный исход |
|
6 |
180 |
детерминированный исход |
|
7 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
190 |
детерминированный исход |
|
8 |
190 |
детерминированный исход |
|
9 |
200 |
детерминированный исход |
|
9 |
200 |
детерминированный исход |
|
10 |
205 |
все равно |
|
10 |
205 |
все равно |
|
Испытание № 3 |
|
Испытание № 5 | ||||
|
Значение постоянного фактора (Y3=18; Z=const) |
|
Значение постоянного фактора (Y4=21; Z=const) | ||||
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
Номер шага |
Предложенный детерминированный исход |
Сравнительная оценка детерминированного исхода и лотереи |
|
1 |
240 |
предпочтительней лотерея |
|
1 |
240 |
предпочтительней лотерея |
|
2 |
160 |
детерминированный исход |
|
2 |
160 |
детерминированный исход |
|
3 |
230 |
предпочтительней лотерея |
|
3 |
230 |
предпочтительней лотерея |
|
4 |
170 |
детерминированный исход |
|
4 |
170 |
детерминированный исход |
|
5 |
220 |
предпочтительней лотерея |
|
5 |
220 |
предпочтительней лотерея |
|
6 |
180 |
детерминированный исход |
|
6 |
180 |
детерминированный исход |
|
7 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
7 |
210 |
предпочтительней лотерея |
|
8 |
190 |
детерминированный исход |
|
8 |
190 |
детерминированный исход |
|
9 |
200 |
детерминированный исход |
|
9 |
200 |
детерминированный исход |
|
10 |
205 |
все равно |
|
10 |
205 |
все равно |
Таким образом, XиYвзаимно независимы по полезности отZ.
Для проверки наличия аддитивной независимости предложим эксперту определить, являются ли равноценными лотереи с равновероятными исходами вида:
первая лотерея: <(Y1,Z1,X1), (Y2,Z2,X1)>
вторая лотерея: <(Y1,Z2,X1), (Y2,Z1,X1)>
При этом для эксперта исход (Y1,Z1,X1) не должен быть эквивалентен ни одному из исходов второй лотереи.
Предложим ЛПР следующие лотереи:
первая лотерея: <(150, 8, 100), (250, 24, 100)>
вторая лотерея <(150, 24, 100), (250, 8, 100)>
Так как исход (Y1,Z1,X1) первой лотереи, по мнению эксперта, равноценен исходу (150, 24, 100) второй лотереи, то между факторамиY, Z, и X нет аддитивной независимости. Следовательно, остается независимость по полезности.
Получим следующий результат: фактор Х не зависит по полезности от (Y,Z), а (X,Z) не зависит по полезности отYи (X,Y) не зависит по полезности отZ, следовательно, имеем независимость факторов по полезности, что позволяет в дальнейшем использовать следующую форму функции многомерной полезности:
U(X, Y, Z)=kXUX(X)+kYUY(Y)+kZUZ(Z)+kkXkYUX(X)UY(Y)+ +kkXkZUX(X)UZ(Z)+kkYkZUY(Y)UZ(Z)+k2kXkYkZUX(X)UY(Y)UZ(Z).