Этап 4. Нахождение значений шкалирующих констант и построение трехфакторной функции полезности.

Поскольку мы имеем случай взаимной независимости по полезности, то функция полезности будет иметь вид:

U(X, Y, Z)=k_XU_X(X)+k_YU_Y(Y)+k_ZU_Z(Z)+kk_Xk_YU_X(X)U_Y(Y)+ +kk_Xk_ZU_X(X)U_Z(Z)+kk_Yk_ZU_Y(Y)U_Z(Z)+k²k_Xk_Yk_ZU_X(X)U_Y(Y)U_Z(Z).

при этом полезность зависит от роста аргументов таким образом, что:

U(X_min,Y_max,Z_max)=0,U(X_max,Y_min,Z_min)=1,

U(Y_min,Z_max)>U(Y_max,Z_max),U(Y_max,Z_min)>U(Y_max,Z_max),U(X_min,Z_max)<U(X_max,Z_max),U(X_max,Z_min)>U(X_max,Z_max),U(Y_min,X_max)>U(Y_max,X_max),U(Y_max,X_min)<U(Y_max,X_max),

тогда для согласованности констант должно выполняться равенство k+1=(kk_x+1)(kk_y+1)(kk_z+1) k_x = U(X_max, Y_max, Z_max), k_y = U(X_min, Y_min, Z_max), k_z = U(X_min, Y_max, Z_min)

Рассмотрим лотерею вида <(250, 24, 300), (150, 8, 300), (150, 24, 100)>

В данной лотерее ЛПР высказал следующие предпочтения относительно исходов: первый исход предпочтительней второго и третьего, а третий предпочтительней второго, следовательно, исходы не эквивалентны, и можно сделать выводы о соотношении констант:

Поскольку U(X_max,Y_max,Z_max) >U(X_min,Y_max,Z_min) >U(X_min,Y_min,Z_max), тоk_x>k_z>k_y.

Поскольку U(X_min, Y_max, Z_max) < U(X_min, Y_min, Z_max), то можно найти такое, что

U(, Y_max, Z_max) = U(Х_min, Y_min, Z_max). Следовательно:k_XU() =k_y.

Чтобы определить значение эксперту был задан вопрос: при каком объеме реализации исходы, при которых объем=150, время строительства=8, затраты=300 и объем=, время строительства=24, затраты=300 будут эквивалентны. Эксперт ответил, что при объеме реализации 200 тыс. тонн в год эти исходы будут для него эквивалентны.

Поскольку U(X_min,Y_max,Z_max)<U(X_min,Y_max,Z_min), то можно найти такое, что

U(, Y_max, Z_max) = U(Х_min, Y_max, Z_min). Следовательно:k_XU() =k_z.

Чтобы определить значение эксперту был задан вопрос: при каком объеме реализации исходы, при которых объем=150, время строительства=24, затраты=100 и объем=, время строительства=24, затраты=300 будут эквивалентны. Эксперт ответил, что при объеме реализации 220 тыс. тонн в год эти исходы будут для него эквивалентны.

Поскольку (kk_x+1)(kk_y+1)(kk_z+1)-k=1,k_XU() =k_y,k_XU() =k_z, то для вычисления шкалирующей константыkнам потребуется ещё одно уравнение. Прибегая с этой целью к сравнению лотерей, определим такое значение вероятностиp_x, при котором исход (X_min,Y_min,Z_max) будет равноценен лотерее <(X_min, Y_max, Z_max),p_x,(X_max,Y_min,Z_min)>.

Для определения величины p_x эксперту был задан вопрос: с какой вероятностью вышеуказанная лотерея должна принимать наилучшее значение, чтобы данная лотерея была равноценна гарантированному исходу. Эксперт ответил: с вероятностью 80%.

Используя мультипликативную функцию полезности для трех факторов и приравнивая ожидаемые полезности, находим k_x = p_x .

Величины U() иU() можно вычислить непосредственно по найденной на предыдущем этапе формуле для условной функции полезности, используя программу eufNEW.EXE.

Определив, что =200 а = 220, получаемU() = 0,449832873 аU() = 0,65670673, тогда приk_x=0,8 получимk_y=0,359866298,k_z=0,525365384.

Отсюда находим значение шкалирующей константы k,используя формулу:

k+1=(kk_x+1)(kk_y+1)(kk_z+1), получили, чтоk= -0,90035431.

Таким образом, шкалирующие константы определены.