II. Оценка уравнений функционирования с помощью мнк.

Оценка параметров уравнений функционирования осуществляется в ППП STATISTICA при использовании модуля Multiple Regression.

Оценим модели следующего вида:

Оценка моделей будет осуществляться по данным за 20 периодов (3 последних периода оставляем для проверки прогностических свойств).

После идентификации моделей, для каждой из них будет проведен дисперсионный анализ, с помощью которого будут сделаны выводы о значимости каждой из модели и ее параметров.

1. Идентификация уравнения функционирования С_t.(смПриложение №3)

N=20	B	St. Err. of B	tрасч(17)	tтабл	p-level
а0	1,464139	1,723894	0,849321	2,11	0,407505
а1	0,938062	0,133155	7,044895	2,11	0,000002
а2	0,930356	0,144063	6,457980	2,11	0,000006

F(2,17)=315,84 >F_0,05(2,17)=3,59

Как видно, из приведенных выше результатов, в целом модель значима, однако один из ее параметров ( а₀ ) незначим. Следовательно необходимо перестроить модель, исключив параметра₀. Сделаем это:

N=20	B	St. Err.of B	t(18)	tтабл	p-level
а1	1,019285	0,091933	11,08726	2,1	0,000000
а2	0,898628	0,138054	6,50925	2,1	0,000004

F(2,18)=19951 >F_0,05(2,18)=3,55

Полученные результаты показали значимость модели в целом и ее параметров. В итоге имеем следующий вид уравнения:

Теперь проверим существует ли автокорреляция остатков _Сt. Это можно сделать используя критерий Дарбина-Уотсона:

d_L=1,1 < d_расч= 1,98 < d_U=1,54

Так как условие не выполняется и d_расч > d_U можно утверждать, что автокорреляция остатков_Сt отсутствует.

2. Идентификация уравнения функционирования I_t.(смПриложение №4)

N=20	B	St. Err.of B	t(18)	tтабл	p-level
b0	8,747517	2,521583	3,46906	2,1	0,002738
b1	-0,075619	0,026966	-2,80428	2,1	0,011729

F(1,18)=7,864 >F_0,05(1,18)=4,41

Модель и параметры модели значимы. Уравнение примет следующий вид:

Проверим автокоррелированность остатков _Itпо Дарбину-Уотсону:

d_L=1,2 < d_расч= 1,61 < d_U=1,41 - условие не выполняется.

Гипотеза о наличии автокорреляции в ряду _It не принимается.

3. Идентификация уравнения функционирования W1_t.(смПриложение №5)

N=20	B	St. Err. of B	t(18)	tтабл	p-level
с0	2,699494	1,163451	2,32025	2,1	0,032276
с1	0,289182	0,022932	12,61067	2,1	0,000000

F(1,18)=159,03 >F_0,05(1,18)=4,41

Модель и параметры модели значимы. Уравнение примет следующий вид:

Проверим автокоррелированность остатков _W1tпо Дарбину-Уотсону:

d_L=1,2 < d_расч= 0,695 < d_U=1,41 - условие не выполняется.

Так как условие не выполняется и d_расч < d_L , то принимается гипотеза о наличии положительной автокорреляции остатков_W1t .

Общий вывод:

Уравнения функционирования имеют следующий вид:

Рассчитанные значения C_t, L_t, W1_tподставляются в балансовые уравнения, в результате чего мы получаем значения переменных X_t, K_t, P_t(смПриложение №6)

3. Оценка коэффициентов модели 2 МНК.

Суть метода 2МНК: на первом шаге строятся регрессии каждой эндогенной переменной на все множество экзогенных переменных (т.е. объединяются экзогенные переменные, входящие в правую часть хотя бы одного из уравнений функционирования). По построенным уравнениям регрессии для каждого наблюдения находят оценку эндогенных переменных по значениям экзогенных. На втором шаге оцениваются параметры уравнений функционирования, подставляя в их правые части полученные на первом шаге оценки эндогенных переменных.

Применение 2МНК позволяет получить переменные по крайней мере не коррелированные с .

Восстановим следующие зависимости:

В результате дисперсионного анализа модели С* можно выделить несколько не значимых параметров (см. Приложение №7пункт 1). Избавясь от них, вновь применим МНК. В результате оказалось, что С* зависит от W_2t ,T_t, X_t-1, K_t-1 (см.Приложение №7пункт 2. ).

Таким же образом оцениваем модели I* (см. Приложение №8) и W_1t(см.Приложение №9).

В итоге получаем общий вид модели функционирования :

Затем восстанавливаем значения переменных X_t^*, K_t^*, P_t^* с помощью балансовых уравнений.

Все рассчитанные значения сведены в таблицу и представлены в Приложении №10.

Теперь восстановим следующие зависимости :

Оценку моделей производим как обычно по средствам дисперсионного анализа, в ходе которого из модели исключаются все незначимые параметры и оценивается модель в целом (см. Приложения № 11-13.).

В результате получаем:

Затем восстанавливаем значения переменных X_t, K_t, P_t с помощью балансовых уравнений.

Все рассчитанные значения представлены в Приложении № 14.

3. Сравнительный анализ точности восстановления исследуемых зависимостей.

Вид модели	Способ оценки	Характеристики модели
		S^2	R^2	F-стат
C	МНК	0,76	99,96	19951
	2МНК	0,52	99,97	29562
I	МНК	1,21	30,41	7,864
	2МНК	1,247	28,23	7,0799
W1	МНК	0,574	89,83	159
	2МНК	0,892	99,72	6740

Анализируя полученную таблицу, можно видеть, что

• для С_tлучше модель по 2МНК;

• для W1_tлучше модель по 2МНК;

• для I_tлучше модель по МНК, хотя и та и другая модель очень плохо отражают динамику изменения фактической переменной. Отсюда можно сделать вывод о несоответствии уравненияI_tв модели Клейна реальному формированию размера инвестиций.

3. Построение моделей тренда экзогенных переменных модели.

Для проведения прогнозных расчетов на основе эконометрической модели необходимо оценить тенденцию изменения экзогенных переменных W2_t, G_t, T_t. Для этого необходимо разбить исходный ряд на две совокупности и проверить две статистические гипотезы:

1. гипотеза об однородности полученных совокупностей (вспомогательная гипотеза);

2. гипотеза о равенстве средних в этих совокупностях (основная гипотеза).

Если выполняется гипотеза 1 и не выполняется гипотеза 2, то можно говорить о наличии тенденции в развитии.

Формулировка вспомогательной гипотезы для W2_t:

F_табл(0,05;6;15)= 2,79

Вывод: F<F_таблпринимаем гипотезуH₀, совокупность однородная

Формулировка основной гипотезы: для W2_t:

t_табл(0,05;n+m-2)

t_0,05(21)= 2,08

Вывод: t>t_крпринимаем гипотезуH₀, тенденция в средних есть, возможность построения тренда доказана.

Статистические гипотезы для G_t иT_tпроверяются аналогичным образом (см.Приложение №15).Все условия для наличия тенденции выполняются.

2. Построение трендовых моделей и анализ.

Построение различных трендов приведено в Приложениях №16-18. Оценка моделей производится по средством дисперсионного анализа.

Выбор наилучшей модели осуществляется с помощью сравнения коэффициентов Тейла

Сравнительный анализ для W_2t

Вид тренда	y=a+b*t	y=exp(a+b*t)	y=1/(a+b*t)	y=a+b/t	y=a+b*ln(t)	y=a*t^b	y=a+b*sqrt(t)	y=(a+b*t)^2
Кт	0,133	0,122	0,106	0,228	0,181	0,176	0,154	0,128

В результате получаем:

Сравнительный анализ для G_t

Вид тренда	y=a+b*t	y=exp(a+b*t)	y=1/(a+b*t)	y=a+b/t	y=1/(a+b/t)	y=a+b*ln(t)	y=a*t^b	y=(a+b*t)^2
Кт	0,047	0,140	0,426	0,164	0,150	0,058	0,017	0,084

В результате имеем:

Сравнительный анализ для T_t

Вид тренда	y=a+b*t	y=exp(a+b*t)	y=1/(a+b*t)	y=a+b/t	y=1/(a+b/t)	y=a+b*ln(t)	y=a*t^b	y=(a+b*t)^2
Кт	0,064	0,045	0,018	0,196	0,198	0,134	0,128	0,056

В результате имеем:

Примечание: все приведенные выше модели, а также их параметры значимы

3. Проверка прогностических свойств моделей.

На основе экстраполяции значений экзогенных переменных необходимо получить точечный прогноз на 3 периода вперед для эндогенных переменных модели Клейна. Для этого в построенные зависимости, описывающие уравнения функционирования модели, подставляются предсказанные значения экзогенных и известные значения лаговых переменных. А затем с их помощью находятся значения переменных, описываемых с помощью балансовых уравнений. В итоге получим:

1. МНК.

Система уравнений примет вид:

Период	T	W2	G	C	I	W1	X	K	P
21	22,8	8,1	14,5	44,22	0,53	20,13	59,22	109,25	16,30
22	23,4	8,3	14,7	43,27	0,49	19,83	58,44	109,73	15,19
23	24,1	8,4	14,9	42,22	0,45	19,60	57,56	110,18	13,88
Кт	0,018	0,106	0,017	0,124	0,688	0,032	0,112	0,012	0,313

2. 2МНК.

Система уравнений примет вид:

Период	T	W2	G	C	I	W1	X	K	P
21	22,793	8,094	14,472	44,640	0,517	20,692	59,628	109,505	16,143
22	23,418	8,256	14,683	43,501	0,477	20,310	58,662	109,982	14,934
23	24,077	8,426	14,888	42,259	0,441	19,981	57,588	110,422	13,530
Кт	0,018	0,106	0,017	0,121	0,694	0,043	0,109	0,011	0,325

Сравнительная таблица коэффициентов Тейла.

	T	W2	G	C	I	W1	X	K	P
МНК	0,018	0,106	0,017	0,124	0,688	0,032	0,112	0,012	0,313
2МНК	0,018	0,106	0,017	0,121	0,694	0,043	0,109	0,011	0,325

ВЫВОД:

1. По коэффициенту Тейла достаточно сложно сравнивать модель, построенную с помощью МНК, с моделью, построенной по 2МНК. Как видно из таблицы и в том и в другом случае мы имеем равенство в количестве лучших коэффициентов Тейла. Если же исходить из сравнения коэффициентов детерминации для С, I, W1, то в общем случае модель построенная по 2МНК имеет некоторое преимущество.

2. Следует также заметить, что не все уравнения правильно отражают динамику развития показателей: так С, I,X, P, W1, вместо того чтобы расти (исходная статистика), падают.

3. Прогнозирование на основе эконометрической модели.

Для формирования прогноза необходимо перестроить всю модель, используя для этого 23 наблюдения (см. Приложения № 19-25).

В результате получим следующую эконометрическую модель:

Период	C	I	W1	X	K	P	T	G	W2
24	47,40	0,76	21,42	63,31	113,06	16,96	24,94	15,15	9,05

Для формирования интервального прогноза воспользуемся формулой:

Для нахождения доверительного интервала прогнозов по балансовым уравнениям складываются соответствующие нижние границы, формирующих данную переменную значений, и верхние.

В результате расчетов (см. Приложение № 26) получаем:

Граница	C	I	W1	X	K	P	T	G	W2
Нижняя	41,169	-1,559	20,103	51,464	110,909	9,531	21,830	11,855	7,820
Верхняя	53,636	3,082	22,730	76,072	115,214	24,262	29,081	19,354	10,726

Приложения

Приложение №1

№	C	I	X	G	K	P	T	W1	W2
1	27,9	4,1	37,2	5,2	77,7	13,3	13,6	10,3	5,6
2	29,33	1,2	39,1	8,575	78,9	11,6	14,7	12,8	5,5
3	31,2	4,5	41,6	5,9	83,4	11,8	14,7	15,1	5,7
4	34,43	2,1	45,9	9,375	85,5	14,5	16,2	15,2	5,9
5	36,53	4,6	48,7	7,575	90,1	15,1	16,9	16,7	6,2
6	37,65	0,5	49,4	11,85	90,6	15,5	17	16,9	6,5
7	37,35	0,7	49,8	11,75	91,3	15,4	17,2	17,2	6,8
8	37,58	1,2	50,1	11,33	92,5	15,1	17,5	17,5	6,8
9	38,4	1,6	51,2	11,2	94,1	15,4	18,1	17,7	6,8
10	38,78	0,7	51,7	12,23	94,8	15,3	18,5	17,9	7,1
11	39,45	1,1	52,6	12,05	95,9	15,6	18,9	18,1	7,2
12	39,53	1,3	52,7	11,88	97,2	15,6	18,8	18,3	7,2
13	39,98	1,2	53,3	12,13	98,4	17,1	18,1	18,1	7,1
14	40,43	0,8	53,9	12,68	99,2	17,1	18,6	18,2	7
15	41,33	1,1	55,1	12,68	100,3	18,2	18,5	18,4	6,9
16	42,9	1,3	57,2	13	101,6	19,2	19,1	18,9	7,1
17	44,7	2,8	59,6	12,1	104,4	20,1	20,4	19,1	7,2
18	44,93	1,3	59,9	13,68	105,7	20	20,6	19,3	7,3
19	46,13	0,4	61,5	14,98	106,1	20,2	21,8	19,5	7,5
20	46,13	1,7	61,5	13,68	107,8	19,8	22,6	19,1	8,1
21	48,23	1,2	64,3	14,88	109	22,2	22,7	19,4	9,5
22	49,28	1,6	65,7	14,83	110,6	22,2	23,8	19,7	8,9
23	49,95	1,7	66,6	14,95	112,3	21,5	24,7	20,4	9,1

Приложение №2