Проверка ряда на стационарность
REM: см. Приложение1
Определение тренда и проверка гипотезы о правильности выбора тренда
В результате построения линейной трендовой модели получили следующие результаты расчетов.
Вид модели |
R2,% |
S |
F |
4,55+2,02*t |
99,48 |
1,31 |
5321 |
Значимость параметров модели
Параметр |
S |
tрасч |
t(0,05;29) |
4,55 |
0,5 |
9,3 |
2,05 |
2,02 |
0,03 |
73 |
2,05 |
Проверка гипотезы о правильности выбора вида тренда заключается в том, что отклонения от тренда будут носить случайный характер.
Критерий серий (основанный на медиане выборки)
Рассчитаем отклонения от тренда 1,2, … ,30, отсортировав, найдем медианное значение. Рассмотрим исходный ряд отклонений и сравним полученные значения с медианныммедпо следующему правилу
Последовательность идущих подряд 1 или –1 называется серией. Если отклонения от тренда случайные, то чередование серий должно быть также случайным. Для аналитической оценки случайности отклонений используют следующий метод: подсчитывают длину самой длинной серии Кмах(30) и общее число серий(30). Выборка признается случайной если выполняются следующие неравенства (для 5% уровня значимости):
В результате расчетов получили, что медиана мед= 0,15,
Kmax(30) = 4 < 8,175
(30) = 20 >10,223.
Таким образом, отклонение уровней временного ряда от тренда случайно, и уравнение тренда составлено правильно.
Проверка гипотезы о стационарности случайного компонента
Основным условием стационарности случайного процесса является зависимость автокорреляционной функции только от разности аргументов
ti – tj = . На практике ориентируются на n / 4, в нашем случае = 7.
Для проверки гипотезы о том, что значение автокорреляционной функции зависит не от выбора начала отсчета наблюдений, а только от величины сдвига , найдем для случайного компонента t (t = 1, …, 30) значения автокорреляционной функции . Затем, исключив последнее наблюдение найдем новую автокорреляционную функцию, и так далее, исключаяk (k = 0, 1, …, K) наблюдений, получим = 7 групп, содержащих по K + 1 коэффициентов автокорреляции, так как рассматриваемый ряд наблюдений содержит 30 значений, то возьмем К=10, большее количество брать не целесообразно, т.к. ряд не будет коротким и полученные коэффициенты не будут адекватными реальной ситуации.
Для стационарного в широком смысле случайного процесса коэффициенты автокорреляции, входящие в одну и ту же группу должны быть однородными.
Для проверки на однородность для каждого из вычисляют величинуz-критерия , затем рассчитывают для каждой группы. Далее для каждой группы рассчитывается значение, которое сравнивается табличным2 (K).
Если 2расч < 2 (K), то гипотеза об однородности -й группы не отвергается. Если гипотеза об однородности не отвергается для всех групп, то можно принять, что автокорреляционная функция зависит не от начала отсчета, а только от разности ti – tj = , т.е. случайный компонент представляет собой стационарный в широком смысле случайный процесс.
Приведем результаты расчетов 2расч .
|
= 1 |
= 2 |
= 3 |
= 4 |
= 5 |
= 6 |
= 7 |
2(0.05, 10) |
2расч |
0.714 |
0.039 |
0.08 |
0.054 |
0.541 |
0.269 |
0.575 |
18.3 |
Таким образом, можно предположить, что отклонения от линейного тренда являются стационарным в широком смысле случайным процессом.
Для наглядности построим коррелограмм, который в будущем может использоваться для выбора глубины авторегрессионной модели, тем самым можно увидеть как изменяется связь с прошлым.
Из анализа коррелограмма можно сделать о наличие некой циклической связи прошлых значений с настоящими.
Определение наличия автокорреляции в исходном ряду с
помощью критерия Дарбина-Уотсона.
REM: см. Приложение1
, где dt = yt - ytp. Из данной формулы с помощью преобразований можно получить, что DW[0;4]. Причем при DW = 0 – положительная автокорреляция, DW = 2 – нет автокорреляции, DW = 4 – отрицательная автокорреляция.
Полученное значение сравнивается с табличными верхним dh и нижним dl значениями, выбираемыми при уровне значимости , числе факторов в модели и числе членов временного ряда n.
Могут иметь место следующие случаи:
DW < dl – положительная автокорреляция;
dh < DW < 4 - dh – отсутствие автокорреляции;
DW > 4 – dl – отрицательная автокорреляция;
dl < DW < dh или 4 - dh < DW < 4 – dl – нет статистических оснований принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции.
В результате расчетов получили, что DW = 3.265; при = 0.05, = 1,
n = 30 - dl = 1.35 , dh = 1.39. Тогда 4 – dl = 2.65, 4 – dh = 2.61.
В рассматриваемом случае DW > 4 – dl – отрицательная автокорреляция, поэтому можно переходить к построению авторегрессионной модели.