1.6. Оценка погрешности при прямых многократных измерениях

Ошибка при этих измерениях складывается из случайной и систематической погрешностей. Выполнив n измерений и записав их результаты в таблицу, вычисляют по (1.6) среднее арифметическое значение измеряемой величины. Затем по формуле (1.8) вычисляют стандартный доверительный интервал, находят по таблице коэффициент Стьюдента в зависимости от требуемой надежности (вероятности) и числа измерений и по формуле (1.9) вычисляют величину случайной погрешности.

Поскольку величину случайной погрешности в некоторой степени регулирует сам экспериментатор, то возникает вопрос, до каких же пределов имеет смысл уменьшать величину этой погрешности? Напомним, что при любых измерениях присутствует систематическая погрешность, связанная с ограниченной точностью используемых приборов. Поэтому оптимальной методике многократных измерений соответствует такая, при которой величина случайной ошибки Δх_сл. не превышает величины систематической Δх_сист. Этот критерий служит для оценки максимально разумного числа наблюдений N. Дальнейшее повышение точности измерений должно происходить за счет применения более точных приборов.

Полная погрешность при многократных измерениях определяется по формуле:

. (1.10)

Если одна из компонент – Δх_сл. или Δх_сист. в два и более раза превышает другую, то меньшей пренебрегают. Причина этого в том, что случайная погрешность при малом числе измерений (N<15) по формуле (1.9) определяется приближенно. Погрешность этого приближения составляет порядка 30%. Такая погрешность величины Δх позволяет говорить только об оценке величины погрешности, а при записи значения использовать округление. Если первая значащая цифра равна 1, то округляют до двух значащих цифр, например: Δх=0,013. Если первая значащая цифра больше или равна 2, то округляют до одной (первой) значащей цифры, например: Δх=0,357890,4 или Δх=0,035789 0,04.

Результат измерений (среднее значение x) также округляется до разряда последней значащей цифры в уже округленной погрешности, например: при Δх=0,4 имеем x=1,25781,3. Окончательный результат измерений записывается в виде:

Х = x Δx =1,3 0,4 (размерность измеряемой величины).

1.7. Оценка погрешности косвенных измерений

Результат косвенных измерений вычисляется по расчетной формуле, куда обычно входят как табличные величины, так и величины, полученные при прямых измерениях. Каждая из них имеет свою погрешность, а задача состоит в том, чтобы учесть их влияние на погрешность конечного результата.

Существуют математические приемы, с помощью которых из расчетной формулы выводится функция для вычисления погрешности косвенных измерений. Эти приемы различны в зависимости от вида расчетной формулы, которая может содержать либо только сомножители, либо еще и слагаемые. Чтобы эти действия были более наглядны, возьмем в качестве примера формулу для определения ускорения, а при равноускоренном движении без начальной скорости, которая содержит только сомножители:

, (1.11)

где S – путь, t – соответствующее время.

1. Логарифмируем расчетную формулу:

2. Берем дифференциал от левой и правой части. Напомним, что дифференциал какой-либо величины y – это ее изменение dy при бесконечно малом изменении аргумента dx, а производная некоторой функции – это отношение дифференциалов функции и аргумента, т.е. . Отсюда следует, что дифференциал функции равен. Кроме того, производная от функцииравна, а дифференциал суммы равен сумме дифференциалов. В результате дифференцирования получаем:

. (1.12)

3. Заменяем дифференциалы величин на соответствующие абсолютные погрешности, а также все знаки «минус» меняем на знак «плюс», т.е. относительные погрешности только складываются:

. (1.13)

Обычно путь S является однократным измерением (задается самим экспериментатором), а соответствующее время t измеряется несколько раз. Погрешность Δt вычисляется по формуле (1.10), а в знаменатель (1.13) подставляется среднее время t. Получим среднее значение ускорения a, подставив в (1.11) среднее время t и соответствующий ему путь S. Максимальная абсолютная погрешность ускорения определяется из (1.13):

. (1.14)

Формула (1.14) указывает на оптимальную методику проведения измерений, т.е. на достижение максимальной точности определения ускорения. Для этого время надо измерять точнее, чем путь, т.к. отно-сительная погрешность времени входит в (1.14) с коэффициентом 2.

Если расчетная формула содержит как сомножители, так и слагаемые, то вычисляется сначала максимальная абсолютная погрешность косвенного измерения. Используем в качестве примера формулу для измерения потенциальной энергии шарика массой m, падающего с высоты Н₁ до отметки Н₂:

W = mg (H₁ – H₂), (1.15)

где g – ускорение свободного падения.

Для получения формулы вычисления ошибки измерений проделаем следующие операции:

1. Возьмем дифференциал от расчетной формулы:

dW = g (H₁ – H₂) dm + m (H₁ – H₂) dg + mg (dH₁ – dH₂). (1.16)

2. Заменим дифференциалы на соответствующие абсолютные погрешности, а также знаки «минус» между дифференциалами на знаки «плюс». Получаем:

ΔW = g (H₁ – H₂)Δm + m (H₁ – H₂)Δg + mg (ΔH₁ +ΔH₂). (1.17)

3. Делим левую и правую части на расчетную формулу. Поделим выражение (1.17) на (1.15), получим относительную погрешность измерения:

. (1.18)

Из (1.15) следует, что с максимальной точностью следует измерять высоты Н₁ и Н₂, т.к. относительная погрешность есть результат деления на малую величину разности (Н₁ – Н₂). В этой формуле величины m, Н₁, Н₂ являются результатами однократных измерений, а ускорение свободного падения g – табличной величиной.

Экспериментальная часть

Упражнение 1. Определение погрешности прямого многократного измерения времени

Примером прямых многократных измерений может служить массив измерений времени лабораторным секундомером. Поскольку цена деления секундомера 0,01 с, а реакция человека составляет десятые доли секунды, то при попытках остановить секундомер точно на заданном значении мы получим набор случайно распределенных около этого значения результатов.

Проведение измерений

1. Ознакомиться с работой секундомера и подключить его к сети.

2. В качестве тренировки попытаться несколько раз установить на секундомере значение 1,00 с или какое-либо другое, указанное преподавателем.

3. Проделать серию измерений (5 – 7) раз с целью установления на секундомере указанного значения времени.

4. Записать результаты измерений в таблицу 1.2.

Вычисление погрешности

Для вычисления погрешности прямых многократных измерений предлагается следующий порядок действий.

1. Вычислить среднее значение по формуле (1.6).

2. Найти погрешности отдельных измерений: .

3. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений:

4. Определить среднеквадратичную погрешность среднего по формуле (1.8).

5. Для данного числа измерений и доверительной вероятностинайти в таблице 1.1 значение коэффициента Стьюдента.

6. Вычислить случайную погрешность по формуле (1.9).

7. Записать значение систематической погрешности (погрешности прибора) _.

8. Вычислить полную погрешность измерений по формуле (1.10).

9. Оценить относительную погрешность по формуле (1.2).

Таблица 1.2

№
1 2 3 4 5

Упражнение 2. Определение погрешности косвенного измерения удельного сопротивления

В качестве примера косвенных измерений определим удельное сопротивление хромоникелевого провода с помощью прибора ФРМ-01. (Подробное описание этого прибора можно получить у лаборанта).

Удельное сопротивление  найдем путем измерения активного сопротивления R, т.к.

, (1.19)

где длина провода,площадь поперечного сечения провода.

Отсюда получим:

, (1.20)

где диаметр провода.

Для проведения измерений используем режим точного измерения тока.

Рис. 1.2. Схема измерений в режиме точного измерения тока

В этой схеме показания вольтметра включают в себя падения напряжения как на измеряемом сопротивлении R, так и на внутреннем сопротивлении амперметра

. (1.21)

Отсюда имеем:

. (1.22)