Оптический сигнал и его преобразование.

Как было отмечено выше, оптический сигнал φ(r) задается в общем случае в трех измерениях (x,y,z). Рассмотрим для простоты одну координату х и изменение оптического сигнала по времени t вдоль неё , т. е. имеем как положительные, так и отрицательные частоты. Два единичных комплексных вектораивращаются в противоположных направлениях, т. е. сигнал биполярный.

Охарактеризуем основные черты линейных преобразований оптического сигнала.

Преобразование Фурье.

Описывает дифракцию света в далекой зоне (дифракцию Фраунгофера) при прохождении когерентного пучка света через оптическую систему с достаточно малой угловой апертурой. Преобразование Фурье используется в теории голографии Фурье, в бесщелевой спектроскопии Фурье, в когерентных оптических корреляторах и т. д.

По определению преобразованием Фурье функции f(x) называется некая интегральная функция

.

Обратное преобразование Фурье записывается следующим образом:

.

Для оптического сигнала можно записать следующие соответствия

исходный сигнал f(x)	Фурье – образ сигнала F(ω)

Одно из фундаментальных свойств преобразования Фурье состоит в том, что скалярное произведение функций при этом преобразовании сохраняется с точностью до постоянного множителя.

Преобразование Френеля.

Описывает процесс дифракции света в ближней зоне (дифракцию Френеля). Используется при анализе свойств широкополосной частотно-модулированной несущей, которая обладает оптимальной информационной емкостью. Преобразование Френеля описывает свойства голографии Френеля, трафаретной голографии, спектроскопии высокой светосилы и свойства синтезированных антенн. Описывается интегральной функцией вида

. – преобразование

Таким образом, Фурье-образ функции Френеля в координатах пространственных частот равен функции Френеля, умноженной на комплексный коэффициент. Из определения преобразования Френеля следует, что это преобразование является сверткой исходной функцииc функцией Френеля при преобразовании Френеля все операции производятся в обычном координатном пространстве. В этом оно качественно отличается от преобразования Фурье, в результате которого сигнал превращается в частотно-спектральный образ, заданный в пространстве Фурье – координат или пространственных частот.

Преобразование Дирака.

Выделяет эффект единичного точечного источника света. Свертка и преобразование Дирака является тождественными. Преобразование Дирака обычно появляется в результате двух последовательных линейных операций с ядром типа Фурье, т. е. дираковский образ состоит из последовательности дельта - функций, умноженных на значение исходной функции в соответствующих точкахi.

Преобразование Гильберта.

Не изменяет спектрального состава сигнала. Выделяет только положительные частоты. Определяет свойства сигнала в однополосной голограмме. Это преобразование применяется при рассмотрении принципа причинности в оптике.

По определению преобразованием Гильберта действительной функции называется интегральная операция

, где интегрирование ведется в смысле главного значения, т. е. .

Сама функция называется Гильберт – образом функции.

Преобразование Гильберта используется в теории аналитического сигнала, содержащего только положительные частоты, и в теории когерентности света.

Преобразование отсчетов.

Описывает свойства оптического сигнала, поступающего из системы с конечной апертурой или ограниченной полосой пространственных частот. Встречается при оценке разрешающей способности и информационной емкости оптического сигнала. Является типичной функцией рассеяния когерентных оптических систем.

Интегральная операция свертки.

Используется для описания кратных процессов дифракции или последовательного наложения нескольких взаимно подобных процессов. Связывает сигналы на выходе и входе системы с её аппаратной функцией.

Функция корреляции.

Используется для описания наблюдаемых величин случайных процессов. Используется в теории когерентности света и в общей теории голографических процессов. Если задана исходная функция , то автокорреляцией этой функции называется интегральная операция

.

Функция автокорреляции обладает следующим свойством .

Использование функции корреляции позволяет практически указать место на двухлучевой интерферограмме точки, которые соответствует оптической разности хода, равной нулю, т. е. абсолютный максимум сигнала на кривой интерференции всегда имеет место при τ=0.

Преобразование в линейном фильтре. Если рассматривать оптическую систему как линейный фильтр, то преобразование этого фильтра пространственно инвариантно (независимо).