ОУвРТ.Мальцев / Лекции взятые из интернета и сделаные студентами / 2Лекция №2 Богданов

Лекция №2

Итак, волна, распространяющаяся вдоль оси волновода (см. рис. 1.4,а) представляет собой дискретную совокупность плоских волн, амплитуды и фазы которых в каждой точке сечения s определяются решением задачи для колебание закрепленной (или свободной) мембраны, а волновые числа равны .

Каждый тип волны представляет собой тип определенной волны, или волновую моду, характеризующуюся специфической структурой электромагнитного поля. Все моды волновода относятся к двум типам:

1. волны П(М,z,t), у которых , , называемые электрическими. Е- или TМ-волнами;

2. волны П(М, z, t), у которых , (т. е. поле Е поляризовано в плоскости z = const), называемые магнитными Н- или ТE-волнами.

Любое поле в волноводе представляет суперпозицию полей ТЕ и ТМ.

В соответствии с концепцией лучевой теории каждая мода волнового поля представляет собой луч падающий на границу волновода - определенная среда под углом Q и распространяется по волноводу в следствие полного внутреннего отражения.

Имеются волноводные моды (или волны), не затухающие при распространении в волноводе, т.е. не подвергающиеся самогашению. Волноводные моды определяются набором углов (числа m и j отражают дискретность угла Q в направлениях x и y), представляющих собой частные решения уравнения, определяющего изменение фызы волны при распространении по волноводу. Причем число разрешенных значений , а значит и волноводных мод, конечно.

2) Отступление от идеализации — это падение светового луча на границу раздела двух сред. Если разложить вектор Е на 2 составляющие , лежащую в плоскости падения и перпендикулярную ей, то получим формулы Френеля, с учетом ;  .                                 

Рис. 2. Преломление и отражение света на границе двух сред

Из уравнений Френеля делают ряд следующих выводов:

1. Фаза преломленной волны всегда совпадает с фазой падающей волны при любых соотношениях a1 и a2.

2. Во всех экспериментах с отраженными и преломленными волнами измеряются их интенсивности. Вводятся коэффициенты пропускания Т и отражения R (см. рис. 1.5).

формул Для неполяризованного (естественного) света получаем

До некоторого угла α величина отражения R  и  ее  составляющие почти постоянны, а затем резко возрастают до R = 1.

3. При нормальном падении луча света на границу раздела

,

Независимо от вида поляризации и от того, с какой стороны падает волна. Если между средами 1 и 2 поместить промежуточный слой с показателем преломления , то энергия отраженной волны уменьшится. Наиболее эффективно этот промежуточный просветляющий слой действует,

4. При ( составляющая  →0 и вектор совпадает с , т. е. отраженный свет линейно поляризован в плоскости падения луча. Физически этот вывод, составляющий содержание закона Брюстера. Условие ( и определяет угол Брюстера.

 .                                                

 Степень   поляризации   естественного   света   при   выполнении   условия   =

 Из этого следует вывод: отражение от сред с большим показателем преломления может быть использовано для эффективной поляризации естественного света.

 5. Если на рис. 2.1. поменять направления лучей 2 и 1  (луч 2 станет падающим, а луч 1 — преломленным), то при условии 

≥ arcsin(/),

 наступает полное внутреннее отражение; энергия волны не переходит из среды 2 в среду 1. Этот угол называют углом полного внутреннего отражения αn.в.о. и этот угол имеет действительные значения при >, т.е. при распределении света в оптически более плотной среде.

Феноменологическое рассмотрение ослабления интенсивности света, распространяющегося в поглощающей среде, приводит к закону Бугера – Ламберта:

,

 где χ — экспериментально измеряемый линейный показатель поглощения.

где λ – коэффициент экстиции, отражающий мнимую часть показателя преломления, т.е. .                               

Вернувшись к третьему выводу для значения R┴

Это уравнение справедливо для нормального падения из вакуума (n1=1) на поверхность поглощающей среды

.

Анализ этого уравнения дает: при γ→0 получаем R┴, приведет в третьем выводе, при γ→∞ R┴ →1, т. е. сильно поглощающее вещество ведет себя как металлическое зеркало.

В случае поглощающей среды принимает вид:

R + T + A = 1,

или в дифференциальной форме

ρ+τ+α = 1,

где A(α) и T(τ)—доли энергии волны, поглощенной в слое вещества и прошедшей через этот слой.

Для учета отличия реальных потоков излучения от идеализаций необходимо учитывать дисперсию, т. е. зависимость фазовой скорости волны от частоты (или частотную зависимость показателя преломления). В простейшем случае, когда все осцилляторы (излучатели) одинаковы, не взаимодействуют друг с другом имеем

 где N — концентрация осцилляторов, и q – масса и заряд электрона, f – константа, определяемая природой осциллятора, ω — вынужденные колебания , возбуждаемые внешней силой.

Количественной мерой дисперсии служит величина ∆n/∆λ = D.

Важнейшее практическое следствие дисперсии состоит в том, что по мере распространения в среде оптический сигнал «расплывается». Экспериментальные оценки показывают, что уширение оптического импульса оказывается пропорциональным где l — расстояние, пройденное им в диспергирующей среде.

Отличие дисперсии от мода в том, что мода обусловлена геометрическими факторами оптической среды, а дисперсия как таковая величиной D = ∆n/∆λ≠0, поэтому она имеет место и для вакуума, хотя n = 1.

Интерференция и дифракция света.

Важнейшим следствием волновой природы света и ее основной формой проявления является интерференция, т.е. пространственное перераспределение энергии оптического излучения при наложении 2-х или нескольких электромагнитных полей. Происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний векторов Е и Н в различных точках пространства в зависимости от фазовых взаимоотношений взаимодействующих волн.

Максимумы интенсивности освещенности соответствуют ( по оси Х)

Где m – порядок интерференции; – расстояние между двумя соседними осцилляторами, L – расстояние до плоскости, где излучения от этих осцилляторов интерферируют на практике , это означает, что по мере удаления от осциллятора изменяется амплитуда максимумов, т.е. происходит смазывание интерференционных полос. Количественное смазывание картины интерференции характеризуется контрастом

Распространение интерференция волн в неоднородной среде сопровождается дифракцией, т.е. нарушением прямолинейности распространения света вблизи краев непрозрачных предметов, приводящего к частичной засветке затемненного участка и к неоднородной освещенности незатемненного.

В связи со сложностью точной математической модели дифракции широкое распространение имеет приближенная модель, основанная на принципе Гюйгенса-Френеля.

Суть этого принципа состоит в том, что фронт падающей волны, искаженный введением непрозрачного экрана (края узкой щели небольшого отверстия или затемнение), мысленно разбивается на малые, но конечные фрагменты (зоны Френеля) так что каждый из этих фрагментов становится источником воображаемой элементарной вторичной волны и структура поля за экраном определяется интерференцией этих вторичных волн.

Выделяют два крайних случая по характеру дифракции.

Рассматривают взаимное расположение источника излучения S, на котором наблюдается явление дифракции.

А — апертура диафрагмы (характеристический линейный размер).

1-ый случай. Дифракция на расходящихся лучах, или дифракция Френеля. Она осуществляется тогда, когда точечный излучатель расположен около диафрагмы (), либо когда наблюдение ведется вблизи от диафрагмы ().общие аналитические выражения для дифракции Френеля получить не удается.

2-ой случай. Дифракция в параллельных лучах, или дифракция Фраунгофера (,). она осуществляется когда излучатель помещается в фокусе одной линзы, отражатель в фокусе — другой, а диафрагма — параллельном между ними. Для дифракции Фраунгофера в случае простых по геометрии диафрагм (круглого отверстия, узкой щели, периодического чередования этих элементов в виде решеток и т.п.) получают достаточно простые математические модели. В общем виде максимумы и минимумы дифракционных картин по интенсивности

.

Дифракция Фраунгофера на трехмерной периодической решетке приводит к известному условию Вульфа-Брегга.

.

D — расстояние между соседними сетчатыми плоскостями.

Дифракционная угловая расходимость параллельного пучка лучей

,

где β=0,3…0,6; определяется по положению первого min(β=0,6) (рис.а), либо по полуширине 1-го max(β=0,3) (рис.б).

Рис.а. Рис. б.

отсюда получают предельную разрешающую способность оптических приборов (дифракционный узел), не может быть лучше

.

Это условие носит фундаментальный характер.

Если частота, амплитуда, начальная фаза, напряжение вектора поляризации остаются неизменными, то такие колебательные волны называются когерентными, что на практике не соблюдается. Поэтому, имеется функция взаимной когерентности Г₁₂ или ее нормированное представление γ₁₂ – степень взаимной когерентности:

Г₁₂(ψ) определяет ту дополнительную интенсивность ∆I₁₂, которая обусловлена частичной когерентностью источников S₁ и S₂. Например,

Г₁₂(ψ)= ∆I₁₂/2

Если два источника S₁ и S₂ свести в одной точке, но сохранить имаеющуюся разность фаз ψ= ψ₂- ψ₁, то коэффициент γ₁₁(ψ) δ. Характеризовать временную когерентность волны. Так как излучение не монохроматично, а представляется в виде последовательных волновых цугов со средней длительностью τ, то имеем, что цуги между собой коррелируют только в течение времени равное τ. Края цугов обрываются не резко, амплитуда цуга постепенно нарастает в начале и постепенно затухает в конце. Получаем процесс близкий к sin-му. Используя формулу спектрального разложения (интеграла Фурье) можно получить

τ_ког=2/(π∆υ)≈1/∆υ,

где ∆υ – диапазон частот распространения волны. имеющей собственную частоту колебаний υ₀.

Для солнечного света τ_ког<10^-4 с, то есть излучение некогерентно уже в пределах одного уже в пределах одного периода колебаний.

Для круглого отверстия имеем φ_ког≤0,32λ/r, откуда можно получить площадь когерентности в плоскости экрана

S_ког≈0,3 λ²/D_λ;

D_λ – угловой диаметр излучателя в радианах (например, для солнечного излучения λ_ср≈0,55мин., D_λ=0,009, S_ког=4*10^-6 см²).

Вводится понятие и длины когерентности

L_ког=cτ_ког≈nλ²/∆λ/

Важнейшее техническое применение когерентность волн находит в голографии – способе фиксации (записи) и восстановления (считывания) полной структуры поля излучения, то есть пространственного распределения амплитуды и фазы колебаний.

При записи на фоточувствительную поверхность одновременно направляются пучки, рассеянные излучаемым объектом (предметная волна), и когерентные с ними пучки, не подвергшиеся «деформации» (опорная волна). Фиксация, образующейся интеренфиренционной картины и представляет собой голограмму