Уравнение эйконала

Чтобы найти функцию L(xу z), подставим (3.84) в (3.83)

. (3.85)

Учтем, что лапласиан это дивергенция от градиента, и преобразуем выражение для лапласиана.

(3.86)

В правой части равенства записана дивергенция от произведения скаляра на вектор. Как известно из векторного анализа (см. П2.19), для скаляра и векторасправедливо равенство:

Полагая =, а, преобразуем выражение для лапласиана (3.86)

Теперь подставим выражение для лапласиана в (3.85)

Учтем, что в рамках метода геометрической оптики длина волны стремится к нулю, и поэтому волновое число ₀стремится к бесконечности. Второе слагаемое пропорционально₀, а два другие –₀², поэтому вторым слагаемым в левой части последнего равенства можно пренебречь. После сокращения на общий множитель приходим к уравнению

(grad L(r))² = n(r)²; | grad L(r) | = ± n(r) (3.87)

Это нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка и называют уравнением эйконала. Уравнение является основным соотношением геометрической оптики пространственно неоднородной среды. Отметим следующие важные факты.

• В уравнение эйконала не входит длина волны. Поэтому метод геометрической оптики не учитывает каких-либо дифракционных эффектов и явлений интерференции волн.

• Метод геометрической оптики справедлив лишь в том случае, когда n(r)>0 во всех точках пространства. Дело в том, что уравнение Гельмгольца с отрицательным вторым слагаемым левой части имеет совершенно другое решение.

Рассмотрим, как будет выглядеть эйконал в различных частных случаях. Сначала проведем расчет для плоской волны в однородной среде. Уравнение (3.87) в этом случае выглядит так.

| grad L | = n = const

решение этого уравнения:

. (3.88)

Получено обычное выражение для комплексной амплитуды плоской волны, распространяющейся вдоль ось z.Для однородной среды эйконал – плоскость, перпендикулярная направлению распространения.

Теперь пусть волна по-прежнему распространяется вдоль оси z, и показатель преломления изменяется с ростомz. n=n(z).Уравнение эйконала будет выглядеть так

dL/dz =  n(z)

решение этого уравнения:

(3.89)

Знак ±, стоящий перед интегралом говорит о том, что при положительном nвозможны прямая и обратная волны, а суммарное поле будет их суперпозицией. Выражение (3.88 ) аналогично (3.89). И в том и в другом случае эйконал – плоскость перпендикулярная направлению распространения, но в первом случае эйконал зависит отzлинейно, а во втором - нелинейно.

Особая ситуация возникает тогда, когда в некоторой точке z₀показатель преломления обращается в нуль. Пусть, например, приz<z₀показатель преломления положителен, а приz>z₀отрицателен. Распространяется только падающая волна. В самой точке z₀и в ее малой окрестности метод геометрической оптики теряет силу, однако ясно, что правее нее волновой процесс будет отсутствовать. Поскольку в среде нет потерь, падающая волна целиком отражается назад. Рассмотренную здесь точку принято называтьточкой поворота.