3.7. Уравнение Гельмгольца в слабо неоднородной изотропной среде

Среду считаем неоднородной, если диэлектрическая и магнитная проницаемости непостоянны в объеме и зависят от координат. Среда будет слабо неоднородной, если изменение проницаемостей происходит значительно медленнее электрического и магнитного поля и ее изменение на размер порядка длины волны настолько незначительны, что ими можно пренебречь. В этом случае уравнения Гельмгольца в первом приближении не изменяются. Покажем это. В каждой точке объема существует связь между комплексными амплитудами поля, задаваемая материальными уравнениями (см.1.3.5)

,

где =(х,у,z) и =(х,у,z) – диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества, слабо зависящие от координат. Будем рассматривать гармонический волновой процесс с круговой частотой, существующий в неоднородной среде без источников. Потери учитывать не будем. Тогда система уравнений Максвелла для комплексных амплитуд примет следующий вид:

;;

(3.77)

Чтобы получить из этой системы уравнение Гельмгольца для вектора нужно взять ротор от четвертого уравнения системы (3.77) и появившиеся справаиrotзаменить их значением. Получим уравнение для вектора и, упростив его, уравнение Гельмгольца. Возьмем ротор от обеих частей четвертого уравнения.

. (3.78)

Теперь заменим в (3.78) иrot, полученные из третьего и четвертого уравнений системы (3.77)

;

. (3.79)

С другой стороны

. (3.80)

Рассчитаем дивергенцию , воспользовавшись вторым уравнением (3.77)

;.

Воспользуемся полученным значением для упрощения (3.80)

.

. (3.81)

Получено уравнение Гельмгольца для неоднородной среды. Уравнение значительно упрощается, если неоднородность невелика. Тогда последними двумя слагаемыми можно пренебречь по сравнению с первыми двумя.Уравнение Гельмгольца для слабо неоднородной среды

(3.82)

имеет тот же вид, что и в однородной среде, но теперь это дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Это уравнение – основа теории распространения электромагнитных волн в средах со слабой неоднородностью.

3.8. Анализ плоских волн методами геометрической оптики

Рассмотрим основы метода приближенного решения уравнения Гельмгольца, который применяют в том случае, когда длина волны пренебрежимо мала по сравнению с любыми характерными размерами неоднородностей материальной среды. При этом уравнение (3.82) заведомо справедливо. Для этого приближения используют термин геометрическая оптика, поскольку описанная ситуация типична прежде всего для оптического диапазона волн. Однако этим методом удается эффективно решать многие задачи, связанные, например, с распространением радиоволн в ионосфере и тропосфере Земли, а также исследовать такие неэлектромагнитные волновые процессы, как распространение зву­ковых волн в Океане, движение сейсмических волн в земной коре и распространение света в волоконно-оптических световодах.

Считая, что потери в среде отсутствуют, вместо постоянной распространения используем волновое число. Запишем обобщенное уравнение для проекций вектора на координатные оси, обозначив обобщенную проекцию символом. Из (3.82) получим:

. (3.83)

где n²(r) =– квадрат локального значения коэффициента преломления неоднородной среды,₀²=²- квадрат волнового числа для вакуума, а г – радиус-вектор точки наблюдения.

В основе метода геометрической оптики лежит интуитивное представление о том, что в пределах малой окрестности любой точки наблюдения волновой процесс представляет собой локально-плоскую волну, которая может быть описана выражением

(r) = Аexp{-i₀L(r)}. (3.84)

Здесь L(r) - уравнение поверхности, на которой фаза электромагнитной волны постоянна, неизвестная пока функция пространственных координат, которую называютэйконалом. Эйконал имеет размерность длины. В случае плоской волны, распространяющейся в однородной среде вдоль осиz, в качестве эйконала выступает плоскость перпендикулярная оси z.