3.6.6. Плоская волна в сверхпроводнике

Явление сверхпроводимости состоит в том, что при очень низкой температуре у некоторых материалов полностью пропадает электрическое сопротивление. Постоянный ток, возбужденный в сверхпроводящем кольце циркулировал по нему в течение нескольких месяцев, если температура образца поддерживалась достаточно низкой. Если же температура становилась выше некоторого значения - критической темпера­туры, то явление сверхпроводимости скачком пропадало. Сверхпроводящие свойства при­сущи многим неферромагнитным металлам. В 1986 году был открыт класс редкоземель­ных керамических материалов, у которых критическая температура достигает 92К. Эти материалы находятся в сверхпроводящем состоянии при температуре жидкого азота.

Явление сверхпроводимости можно объяснить так. В сверхпроводнике существует два типа носителей заряда: нормальные, которые подчиняются закону Ома, и сверхпроводящие, перемещающиеся по сверхпроводнику без какого-либо сопротивления. Электриче­ский ток имеет две составляющие, и его плотность можно записать в виде:

(3.63)

где _ни _с- плотность тока для нормальных и сверхпроводящих носителей соответст­венно.

Нормальная составляющая состоит из тока проводимости и тока смещения.

, (3.64)

где N_ниv_н– концентрация и скорость нормальных носителей заряда.

Ток проводимости сверхпроводя­щих носителей

.   (3.65)

Получим связь между плотностью тока и напряженностью электрического поля для сверхпроводящих носителей. Эта связь заменит для них закон Ома. Сверхпроводящие носители при столкновениях не теряют энергию, и их скорость связана с напряженностью электрического поля не через подвижность, а с помощью второго закона Ньютона.

Теперь продифференцируем (3.65) и подставим в него полученное значение для производной от скорости

. (3.66)

Для сверхпроводящих носителей не выполняется закон Ома. Вместо него действу­ет соотношение (3.66).

Электрический ток в сверхпроводнике создают методом электромагнитной индук­ции, воздействуя на него переменным во времени магнитным полем. Выразим электрическое поле в (3.66) через изменяющееся магнитное поле, его вызывающее. В соответствии с за­коном электромагнитной индукции в отсутствие внешних зарядов и токов в среде с магнитной проницаемостью равной единице

.(3.67)

Чтобы подставить Εиз (3.67) в (3.66) нужно в (3.66) взять ротор от обеих частей

(3.68)

Величину λ_L называют лондоновской длиной. Название произошло от фамилии немец­ких ученых, впервые получивших ее. Лондоновская длина выполняет роль скин слоя в сверхпроводнике. Покажем это, получив волновое уравнение для магнитной индукции в сверхпроводнике. Для этого запишем закон полного тока в сверхпроводнике, воспользо­вавшись (1.3.4)

возьмем ротор от обеих его частей

и используем выражения (3.67), (3.68) для того, чтобы исключить все зависимые пере­менные, кроме магнитной индукции.

Распишем левую часть в виде лапласиана и градиента от дивергенции вектора, воспользовавшись известным равенством векторного анализа.

, (3.69)

поскольку divB= 0.

Волновое уравнение для сверхпроводника отличается от волнового уравнения для вакуума последними двумя слагаемыми в левой части. Первое из них описывает затухание волн, возникающее из-за конечной проводимости нормальных носителей заряда и будет присутствовать в уравнении для любого проводящего вещества, а второе учитывает сверхпроводящие носители. Рассмотрим стационарный процесс, когда магнитное поле пе­рестанет изменяться и его производная по времени равна нулю.

Выберем прямоугольную систему координат с осью х,направленной по магнитно­му полю. Тогда векторное уравнение переходит в скалярное

которое легко решается.

Второе слагаемое описывает экспоненциально нарастающее поле и не имеет физи­ческого смысла, поэтому Β₁(0)= 0, и для магнитного поля в сверхпроводнике получим:

В(х) = В(0) ехр (-λ/λ_L) .(3.70)

Магнитное поле с ростом хуменьшается по экспоненциальному закону. Постоянная за­тухания равна_L. Оценим эту величину. Считаем, что сверхпроводящие носители заряда – электроны. Типичная концентрация свободных электронов в металлеN=10²⁹м^-3 , заряд электрона е =1.610^-19Kл, масса электронаm= 9.110^-31кг, а магнитная проницаемость вакуума = 4π10^-7Гн/м. Подставив все эти значения в выражение (3.68) получим_L≈1610^-9м.

Итак, лондоновская длина - это глубина проникновения постоянного магнитного поля в сверхпроводник. Поверхностный эффект в сверхпроводнике и явление вытеснения высокочастотного поля на поверхность проводника во многом схожи и являются следст­вием закона электромагнитной индукции. В проводящей среде возникает наведенное по­ле, которое препятствует проникновению электромагнитного поля в проводящую среду. Глубина проникновения электромагнитного поля в металл задается соотношением (3.45).

.

Используем это выражения для анализа проникновения постоянного поля в сверхпроводник. У сверхпроводника проводимость _э→, а круговая частота ω→0. Возникает неопределенность, которая раскрывается предыдущими рассуждениями и глубина про­никновения поля в сверхпроводникбудет рассчитываться по выражению:

. (3.71)

Высокочастотные свойства сверхпроводникаможно проанализировать, если известна диэлектрическая и магнитная проницаемости. Магнитную проницаемость сверх­проводника можно считать равной единице, а диэлектрическая имеет особенности, связанные с его свойствами. Комплексная диэлектрическая проницаемость в соответствии с (2.1.5)

Действительная часть ≈. Обычно она много меньше мнимой части и не влия­ет на поведение сверхпроводника в электромагнитном поле. Мнимая часть определяется проводимостью нормальных σ₁и свeрхпроводящихσ₂носителей.

Нормальная проводимость определяется законом Ома

.

Для сверхпроводящих носителей связь между плотностью тока и напряженностью элек­трического поля определяется дифференциальным уравнением (3.66)

Будем считать процесс монохроматическим с круговой частотой ωи воспользуем­ся методом комплексных амплитуд, чтобы перейти от дифференциального уравнения для временных функций к алгебраическому уравнению для комплексных амплитуд.

. (3.72)

Для диэлектрической проницаемости можно записать

(3.73)

Оценим отдельные слагаемые в (3.73) на частоте 10 ГГц для типичного металла. ε₀=10^-9/4π; 10⁷Cм/м;_с≈510⁹См/м, _с/≈1/4π, ₁/≈10^-3/2π.Таким образом, все слагаемые намного меньше второго и для диэлектрической восприимчивости с большой точностью можно записать

(3.74)

Теперь можно посчитать постоянную распространения электромагнитного поля в сверхпроводнике,

(3.75)

Электромагнитное поле в полупроводнике не распространяется (β= 0). Это равен­ство приближенное, так как мы пренебрегли малой действительной частью. Ее учет при­ведет к волне с очень малым волновым числом. Однако и этот волновой процесс затухает на расстоянии лондоновской длины волны от поверхности сверхпроводника.

Рассчитаем волновое сопротивление.

(3.76)

Волновое сопротивление сверхпроводника носит чисто индуктивный характер.