3.4. Возможные виды поляризации плоских волн

Под поляризацией векторного поля понимают закон изменения вектора, характери­зующего это поле, по направлению и величине, по мере распространения поля.

Для электромагнитного поля, как правило, поляризацию определяют по электри­ческому вектору. Если поляризация векторов и различна, то поляризацию для каждо­го из них определяют отдельно. В плоской волне поляризация и совпадают.

Пусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z. Ось хнаправлена произвольно в плоскости, перпендикулярной оси z, а ось у перпендикулярна им обеим. Тогда Е_z= 0, а Ε_xи Е_yмогут отличаться от нуля. Поляризацию можно определить, если получить уравнение связывающее Ε_xи Е_y. Определим эту связь. Проекции электри­ческого поля на оси координат могут отличаться амплитудой и фазой.

Для упрощения записи введем обозначения:

и избавимся от _y=_x- φ.Тогда

Теперь в выражение дляE_у(t) можно подставитьcosФ, рассчитанный из выра­жения для Ε_x(t),и уравнение, связывающее эти две величины, будет получено.

Обособим слагаемое с корнем в правой части равенства и возведем в квадрат обе части уравнения для того, чтобы избавиться от корня.

Теперь приведем выражение к общему знаменателю и запишем его в форме уравнения второй степени относительно Ε_x иΕ_у.

(3.27)

Это квадратичная форма, которой соответствует одна из кривых второго порядка: гипербола, парабола, эллипс или окружность. В определенных условиях кривая второго порядка может выродиться в прямую. Вид кривой определяется знаком выражения

D = X²Y²– (Χ Υ cos φ)².

Выражение (3.27) описывает эллипс или окружность, если D>0; гиперболу, еслиD<0 и параболу приD= 0. В нашем случае

D=X²Y²- (Χ Υcos φ)^{2 =}X²Y²sin φ0,

поэтому в общем случае поляризация плоских волн эллиптическая, но при определенных условиях может переходить в круговую или линейную.

Частные случаи

1. Пусть разность фаз между проекциями на оси х иу отсутствует. Тогда

φ = 0; cos φ = 1; sin φ = 0 (3.28)

и уравнение (3.27) принимает вид

(X E_у– Υ Ε_x)²= 0 ;E_у= ΕxΥ/ Χ.

Это уравнение прямой. Связь между E_yи Ε_xлинейна и поляризацию называютли­нейной.

2. Пусть разность фаз между проекциями на оси хиусоставляет 90° и амплитуды обоих проекций одинаковы.

φ=π/2; cos φ =0; sin φ =l; (3.29)

Это уравнение окружности и поляризация электромагнитного поля круговая.

Итак, электромагнитное поле поляризовано линейно, если проекции вектора на координатные оси синфазны. Если же эти проекции одинаковы по модулю, но сдвинуты по фазе на π/2,то поляризация круговая. Во всех других случаях поляризация эллиптиче­ская.

3.5. Групповая скорость плоских волн

Плоская монохроматическая волна - это идеализация реального процесса проте­кающего в природе. Известно, что информация передается модулированным колебанием, которое имеет узкий спектр, располагающийся вблизи некоторой центральной частоты. Такой сигнал можно заменить монохроматической плоской волной, амплитуда которой изменяется по опре­деленному закону. Скорость перемещения максимума амплитуды этой волны и называют групповой скоро­стью.

Возьмем немонохроматический сигнал Ε(t)e^-iz. Тогда, используя преобразование Фу­рье, его можно представить в виде конечного или бесконечного числа гармоник с ампли­тудойG(), то есть в виде ряда или интеграла Фурье. Будем считать спектр сигнала не­прерывным и запишем его в виде интеграла Фурье.

(3.30)

Сигнал считаем узкополосным, то есть Δω_max/ω₀<< 1, гдеΔω_max- максимальное отклоне­ние по круговой частоте от центральной ω₀. Воспользуемся этим свойством сигнала для того, чтобы представить его в виде гармонического колебания с несущей круговой часто­той ω₀.Для этого волновое число βразложим в ряд Тейлора вблизи несущей. Учитывая то, что отклонение частоты от центральной невелико, в ряду удержим лишь первые два слагаемые

(3.31)

где введено обозначение

(3.32)

Перепишем экспоненту в выражении (3.30) с учетом введенных обозначений.

Подставим полученное для экспоненты выражение в (3.30)

Последний сомножитель от ωне зависит и его можно вынести за знак интеграла.

(3.33)

Итак, негармонический сигнал представлен в виде гармонического с круговой час­тотой ω₀и волновым числом₀(последний сомножитель в виде экспоненты). Амплитуда сигнала изменяется во времени и пространстве в соответствии с выражением в квадратных скобках.

.

Амплитуда не зависит от времени, если z = v_грt. Следова­тельно, весь сигнал распространяется вдоль осиzсо скоростьюv_гр, которая определена выражением (3.32). Иногда, например, в металлическом волноводе в выражении для пло­ской волны (3.9) роль волнового числа βвыполняет другая величина, продольное волно­вое числоh, которое заменяет β.В таком случае групповая скорость по-прежнему опреде­ляется через производную от этой величины по круговой частоте.