3.3. Сферические волны

У сферической волны фаза постоянна на поверхности сферы. Задача имеет сферическую симметрию. Ее следует решать в сферической системе координат. Электрическое и магнитное поле не зависят от угловых координат и. Выберем систему координат так, чтобы электрическое поле было направлено по оси. Запишем однородное уравнение Гельмгольца (2.2.1) в среде без потерь в сферической системе координат (см. П2.28, приложение П2) для единственной со­ставляющей электрического поля Е_.

. (3.22)

Учтем, что производные по обеим угловым координатам иравны нулю:

.(3.23)

Это уравнение сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами с помощью подстановки: Ё_=/r. Продиф­ференцируем один и два раза это равенство для того, чтобы подставить результат в (3.23) и получить уравнение для.

После подстановки полученных выражений в (3.23) все слагаемые, содержащие первую производную, сократятся и уравнение примет стандартный вид:

Здесь частные производные заменены общими, поскольку - функция одной переменной.

Запишем решение уравнения в виде суммы двух экспонент

а затем вместо подставим его выражение через Ё_.

Второе слагаемое описывает волну, перемещающуюся из бесконечности в начало координат. Оно становится бесконечным при г = 0, поэтому его надо отбросить и считать В = 0. Окончательно для электрического поля в сферической волне получим.

(3.24)

Если в цилиндрической системе координат плотность энергии была обратно про­порциональна расстоянию от оси z, а электрическое поле - обратно пропорционально корню из этого расстояния, то в сферической системе плотность энергии обратно пропор­циональна квадрату расстояния от начала координат (площадь сферы равна 4г²), а ам­плитуда электрического поля обратно пропорциональна радиусу.

Рассчитаем комплексную ам­плитуду магнитного поля, воспользовавшись первым уравнением (2.1.4) с нулевой плот­ностью магнитного тока.

(3.25)

Запишем его в сферической системе координат. Чтобы сократить запись, учтем, что у электрического поля есть единственная проекция – _и зависит она от единственной ко­ординатыг. В сложном выражении для ротора векторного поля в сферической системе ко­ординат отличная от нуля производнаявходит во второе слагаемое проекции ро­тора на ось(смотри приложение). Поэтому в левой части (3.25) оставим только это сла­гаемое, а в правой проекцию напряженности магнитного поля на ось. Подставим выра­жение для Ё_и найдем магнитное поле:

(3.26)

Если систему координат выбрать так, что электрическое поле направлено по оси Θ, то связь _и _осталась бы прежней с точностью до знака.

В отличие от цилиндрических волн, у сферических связь между и точно, а не приближенно та же, что и для плоских волн. Это связано с характером изменения коор­динатzи φв цилиндрической и φи θв сферической системе координат. Для цилиндриче­ской координатаzизменяется по прямой линии - образующей цилиндра, а φ– по кривой –окружности ρ=const. Характер изменения координат различный, что и приводит к изме­нению отношения _z к _.В сферической же системе и φи θизменяются по окружно­сти и связь между _и _та же, что и в плоских волнах. Впрочем, на достаточно боль­шом удалении от начала координат вблизи точки наблюдения и сферу, и цилиндр можно приближенно представить в виде плоскости. Таким образом, основной вид электромаг­нитных волн – плоские волны.