Электромагнитные волны

2.12. Найдите напряженность электрического поля и потенциал во всем пространстве для зарядаQ, равномерно размещенного в шаровой области радиусаа. Среда однородна и изотропна.

2.13.Рассчитайте напряженность магнитного поля вокруг прямого провода с током и его индуктивность.

2.14. Определите индуктивность тороида круглого сечения. Сердечник изготовлен из электротехнической стали (= 200). Диаметр сечения сердечника – 1 см. Длина средней линии тороида – 15 см. Зависимость между магнитной индукцией и магнитной восприимчивостью считайте линейной.

2.15. По прямому цилиндрическому стальному (_э=10⁵См/м,= 200) проводу течет постоянный ток 1А. Диаметр провода – 20 мм. Определить напряженность и индукцию электрического и магнитного поля внутри провода.

3. Электромагнитные волны

Рассмотрим электромагнитный процесс, который может протекать в свободном пространстве, если в нем нет ни зарядов, ни токов. Такой процесс можно описать одно­родными уравнениями Максвелла, Гельмгольца или волновыми уравнениями. Проведем расчет методом комплексных амплитуд и воспользуемся урав­нениями Гельмгольца (2.2.1), которые сразу записаны для комплексных амплитуд. Элек­тромагнитное поле может иметь различную симметрию. В зависимости от этого различа­ют плоские, цилиндрические или сферические волны которые можно получить, решая уравнения Максвелла в прямоугольной, цилиндрической и сферической системе коорди­нат.

3.1. Плоская электромагнитная волна и ее параметры

Электромагнитную волну называют плоской, если и электрическое, и магнитное поле не изменяется в плоскости перпендикулярной направлению распространения. Выражение для плоской волны удобно искать в прямоугольной системе коорди­нат (х, у, z). Пусть плоская волна распространяется вдоль осиz, то есть вектор Пойнтинга имеет единственную проекциюП_z, которую можно найти, спроектировав выражение (2.23)

на ось z. Запишем это равенство в проекциях на координатные оси. Известно, что векторное произведение двух векторов можно представить в виде определителя квадрат­ной матрицы (см. приложение).

(3.1)

Воспользуемся этим равенством для того, чтобы переписать правую часть (2.23) в виде квадратной матрицы.

Разложим определитель на миноры по первой строке

(3.2)

Отлично от нуля только третье слагаемое (проекция вектора Пойнтинга на ось z),которое содержит только попе­речные составляющие полей. Поэтому в плоской волне нет ни электрического, ни магнит­ного поля в направлении распространения волны – электромагнитная волна поперечная. Чтобы упростить анализ направим осьхвдоль направления вектора. Тогда электрическое поле будет иметь единственную про­екциюE_х. Воспользуемся уравнением Гельмгольца для электрического поля (см.2.2.1).

.

Спроектируем это уравнение на ось х.

. (3.3)

Электрическое поле в плоской волне не зависит от поперечных координат хиу, поэтому первое и второе слагаемые равны нулю. Тогда вместо (3.3) можно записать:

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение хорошо известно. Его можно представить тремя способами: в виде суммы двух мнимых экспонент, суммы синуса и косинуса с различными амплитудами и в виде Asin(z+), гдеАи- произвольные постоянные. Для плоских волн решение представляют в ви­де суммы двух мнимых экспонент.

(3.4)

Теперь рассчитаем магнитное поле. Можно воспользоваться уравнением Гельмгольца для магнитного поля, но тогда появится еще две произвольные постоянные и их нужно будет определять. Поэтому более рационально использовать уравнение Максвелла для ротора электрического поля и определить магнитное поле через элек­трическое, для которого решение уже получено. Распишем первое уравнение (2.1.4) с нулевой плотностью магнитного тока

в координатах. Для этого представим rotв виде векторного произведения векторана и, воспользовавшись (3.2), получим

Учтем, что векторимеет единственную проекцию на осьх и эта проекция не зависит от поперечных координат. Тогда в уравнении останется единственное слагаемое, проекция на ось у, и последнее равенство можно переписать в виде.

Подставим Ё_хиз выражения (3.4) и получим единственную проекцию магнитного поля:

(3.5)

где Z_с =/–волновое сопротивление среды. Воспользуемся выражением для постоянной распространения (см.2.12) и упростим выражение для волнового сопротивления.

(3.6)

Итак, рассчитано электрическое и магнитное поле в плоской волне. Оба поля име­ют по одной проекции в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. У обоих полей в показатель экспоненты входит сомножитель , который называютпосто­янной распространения.Электрическое и магнитное поле связаны между собой через волновое сопротивление. Представим комплексную постоянную распространения в алгеб­раическом виде, но, следуя общепринятым обозначениям, знак перед мнимой частью вы­берем отрицательный

(3.7)

изапишем выражения для и с учетом этого обозначения.

(3.8)

Перейдем от символического изображения, которое было использовано для уп­рощения расчетов, к выражениям для полей, как функций времени. Для этого воспользу­емся стандартной методикой преобразования, которая состоит в следующем.

Сначала комплексная амплитуда преобразовывается в мгновенный комплекс, для чего ее умножают на exp(it). Затем от мгновенного комплекса берется действительная часть. Это и будет выражение для электрического или магнитного поля как функции времени. Проделаем эту процедуру для поля в плоской вол­не (3.8).

Проведя аналогичные расчеты для магнитного поля, получим:

У обоих полей с ростом zамплитуда первого слагаемого падает, а второго растет. Первое слагаемое можно считать электромагнитной волной, распространяющейся вдоль положительного направления осиz. Амплитуда этой волны экспоненциально уменьшается по мере распространения. Второе слагаемое – это волна, распространяющая­ся в обратном направлении, то есть вдоль-z, из бесконечности в начало координат. Дейст­вительно, если не обращать внимания на постоянный коэффициент, то второе слагаемое можно получить из первого, заменивzна-z. Первому слагаемому соответствует прямая волна. Если на пути распространения волна встретит какую-либо преграду, то от нее она полностью или частично отразится и возникнет отраженная волна, описываемая вторым слагаемым.

Для прямой волны

(3.9)

Для обратной волны:

(3.10)

Если систему координат выбрать так, что электрическое поле направлено по оси у(=), то магнитное будет направлено по осихи связь _yи_xостанется прежней с точностью до знака.

Рассмотрим параметры, которые входят в выражения для полей плоской волны, как функций времени. Выражение для E_x(t) иH_y(t) можно разделить на две части. Ту часть, которая стоит перед косинусом, называютамплитудойэлектрического или магнит­ного поля. Амплитуда экспоненциально уменьшается с ростом координатыz. Коэффици­ент, стоящий в показателе экспоненты передz, называютпостоянной затухания.Ар­гумент косинуса называютфазой плоской волны.Для прямой волны

(3.11)

Фаза – функция двух переменных: координаты и времени. Поверхность, для которой фаза постоянна, называется волновым фронтом. Как и следовало ожидать, у плоской волны волновой фронт - плоскость перпендикулярная осиz, вдоль которой волна распространя­ется. Скорость, с которой распространяется фронт волны, называетсяфазовой скоро­стью.

Чтобы определить фазовую скорость, зафиксируем фазу Ф =t–z= const, и продифференцируем это равенство по времени.

. (3.12)

Теперь определим параметры периодичности колебаний в плоской волне. Посколь­ку фаза зависит от двух переменных, то периодичность наблюдается и по времени и по координате. Период по времени так и называется периодом колебаний,а период по коор­динате -длинной волны.

Определим период колебаний для плоской волны. Временная зависимость в пло­ской волне описывается косинусоидальной функцией, период которой составляет 2. Найдем разность фаз в моментыtиt+Tв точке с координатойz ₀ и прировняем ее 2.

(3.13)

Теперь определим длину волны. Зафиксируем время и найдем такое приращение  пространственной координаты, при котором фаза изменится на 2.

(3.14).

Величина показывает, сколько длин волн укладывается в 2метрах и называетсяволновым числом.Если в (3.14) подставить волновое число из (3.12), то получим выраже­ние, связывающее длину волны и период

Длина волны, это то расстояние, которое электромагнитная волна проходит за пе­риод.

До сих пор мы рассматривали плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси z. Рассмотрим общий случай, когда плоская волна распространяется вдоль произвольной оси,не совпадающей с осьюzкоординатной системы. Повернем систему координат (x,y,z) так, чтобы в новой системе координат (х, у, z) волна распространялась вдоль осиz.Тогда для плоской волны можно записать

.

Здесь векторрасположен в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Волновые фронты в данном случае имеют вид бесконечные пло­скостей, удовлетворяющих уравнению вида z=const. Требуется выразить величинуz'через исходные координатах. у, z. Для этого заметим, чтоzявляется проекцией на ось распространения любого радиуса-вектора , который про­веден из начала координат, а его конец расположен на вол­новом фронте.

z= ,

где можно записать через координаты:

= x+y+z,

а единичный вектор по направлению zчерез направляющие косинусы

=cos + cos + cos,

где ,и- углы образуемые осью zс координатными осями х, у и z соответственно.

Запишем новую координату zчерез старые

z= x cos + y cos + z cos

и подставим ее значение в выражение для плоской волны

= (x cos + y cos + z cos)}=

=. (3.15)

В выражении (3.15) для сокращения записи введен волновой вектор

.