5.5. Интервальные оценки

Интервальными оценками служат доверительные интервалы, границы которых находят, пользуясь заданной доверительной вероятностью и соответствующим распределением. Предполагают, что наблюдения нормальны, поэтому отклонения от среднего следуют распределению Стьюдента или нормальному, а дисперсии - распределению ². Для характеристики рассеяния отдельных наблюдений применяют различные критерии. Широко используют такую характеристику как допустимое отклонение от среднего или допуск. Если же наблюдения не следуют нормальному распределению, то границы интервалов могут быть искажены.

5.5.1. Предельная ошибка измерений

Предельное отклонение от среднего теоретически однозначно не обосновывается, хотя практически такое ограничение очевидно. При выполнении измерений, т.е. целенаправленных действий, отклонения не могут превысить пределы, обусловленные вариацией факторов, хотя теоретически для измерений, которые согласуются с нормальным распределением, допустимы бесконечно большие отклонения. На практике принимают в качестве допуска значение предельного нормированного отклонения t_пр, равное 2, или 2.5 или 3, а в некоторых работах рекомендуется до , в зависимости от объема выборки. [ Агекян ..] . Т.е. используется усеченное нормальное распределение. В геодезии полагают [ ], что для наиболее ответственных работ следует брать t_пр=2, а для работ невысокой точности t_пр=3, предполагая, что распределение нормально. Модуль предельного отклонения определяется по СКО

 _пр =t _пр S, (5.23)

или по САО

_пр =t _пр , в практике фототопографических работ принято _пр =2 . (5.24)

Если есть основания полагать, что распределение отлично от нормального, то можно рассчитать верхнюю оценку t _пр по эксцессу E и объему выборки n согласно [ Новицкий Изограф стр.158]

1/2 t_пр = 1.55-0.8(1 lg n )(E+2), (5.25)

оценку устойчивую к симметричным законам распределения.

5.5.2. Допуски

Численное значение предельной ошибки измерений, установленное для данного вида работ, прибора, материала или условий, называется допуском . Если предполагается, что распределение отклонений симметрично относительно среднего значения, то задается одно значение допуска согласно (5.23) или (5.24). Распределение некоторых видов измерений несимметрично. Тогда задается допуск по размаху, ограничивающий максимальные и минимальные уклонения.

5.5.2.1.Групповой допуск

При большом количестве наблюдений (представительной выборке) можно использовать одновременно несколько граничных значений предельного отклонения, т.е. построить своего рода гистограмму распределения. Подсчитывая число наблюдений, попадающих в каждый интервал, можем не только выявить недопустимые уклонения, но и проверить непротиворечие наблюдений предполагаемому закону распределения. Например, установить факт подгонки наблюдений. Найдем вероятности предельной ошибки в представительной выборке при различных значениях t_пред , используя нормированную функцию Лапласа (t=t _пред )=2*(2) ^-0.5 exp(-0.5t ²)dt. Получаем, что при

t пред	1.5	2.0	2.5	3.0
(t)	0.866	0.955	0.988	0.997

Отсюда следует, что вероятность получения случайного отклонения, превышающего t_пред, будет для

t пред	1.5	2.0	2.5	3.0
1-(t)	0.134=1/8	0.045=1/22	0.012=1/83	0.003=1/333

Дробь означает, что в большой выборке приходится в среднем по одному утроенному уклонению от среднего на каждые 333 наблюдения; по одному случаю на каждые 83 наблюдения уклонение превысит 2.5 t, а в одном из каждых 22 наблюдений - удвоенное СКО (2t). Предполагается, что значение СКО задано или определено по представительной выборке.