14.5. Статистические оценки характеристик случайных функций

При вычислении характеристик случайной функции необходимо знать одномерный и двумерный законы распределения случайной функции, которые, как правило, неизвестны. Поэтому вместо вероятностных характеристик случайной функции рассматривают их оценки, вычисленные по полученным реализациям.

Достаточно точные оценки могут быть получены только в том случае, когда взято большое количество реализации (порядка ста). Тогда оценка будет функцией, где каждому аргументу их соответствует одно значение аргумента оценок. В противном случае оценочные функции этих числовых характеристик также будут размытыми случайными функциями. Учитывая, что каждая реализация содержит сотни и тысячи значений, выявление общих тенденций может быть довольно высоким

14.6. Анализ оценок числовых оценок характеристик

14.6.1. Коррелированность числовых оценок случайной функции

Экспериментально полученная случайная функция - это функция, значения которой в каждой точке находят по ансамблю реализаций в этой точке, (т. е. происходит усреднение по ансамблю). Поэтому значения в соседних точках коррелированны тогда, и только тогда, когда коррелированны значения реализаций в смежных точках, (т. е. существует ковариационная функция).

Однако при определении оценок числовой характеристики по одной реализации мы находим оценки на конечном постоянном участке (площади рис.14.3 и 14.4), перемещающемся по полю (рис.14.5 и 14.6) с шагом один пиксел. Так как участки перекрываются, то смежные оценки будут коррелированны.

Математическое ожидание. Возьмем для сравнения одну строку (площадью n´1) значений дискретов оптической плотности. При длине строки в n элементов мы вычислим числовые оценки характеристики n раз, передвигаясь вдоль всей строки от первого до последнего пиксела. При этом мы (n-1) элемент используем повторно, (n-2) - трижды, (n-3) - четырежды и т. д. ... до (n-(n-1)) .

Проиллюстрируем это на оценке математического ожидания MO{x}=xср.

ÌÎ₁

ÌÎ₂

ÌÎ_n

Рис. 14.6. Перекрытие полей оценки

Перемещая последовательно попиксельно поле сканирования по строке данной реализации образа (рис.14.1.), мы по каждой порции дискретов оптической плотности находим последовательно новую оценку x_ср. Образуется серия оценок. Эта серия составляет оценочную функцию математического ожидания данной реализации. Для ускорения вычислительного процесса необходимо существенно сократить количество арифметических операций. Этого можно достичь, если определять оценки по следующему оптимальному алгоритму.

По начальному положению поля сканирования вычисляем первое значение МО=x_1ср. Сместив поле на один пиксел, можем, используя x_1ср, вычислить второе среднее:

x_2ср = x_1ср - x₁/n + x_n+1/n

Чтобы не вычислять среднее после каждого смещения, будет считать только суммы, без деления на n. На втором шаге получим:

Sx₂ = Sx₁−x₁+x_n+1, гдеS = S^k+n _i=k x_i , на третьем -

Sx₃ = Sx₂−x₂+x_n+2 = Sx₁− (x₁+x₂)+(x_n+1+x_n+2) и т.д.,

получаем в общем виде с указанием диапазона суммирования:

Sⁿx_n = Sⁿ x_i − S^n-1 x_i + S^n-1x_n+i

Объединяя две S^n-1, получаем:

Sⁿ x_n = Sⁿ x_i + S^n-1 (x_n+i – x_i) , (14.12)

где текущее значение Sⁿ x_k = n x_срk вычисляется так:

Sⁿ x_k = Sⁿ x_i + _k-1S^n+k-1 (x_n+i – x_i). (14.13)

Такое вычисление, с многократным (от 1 до n раз) повторением суммирова-ния элементов, существенно сокращает число арифметических действий, не внося никаких искажений.

Эти формулы удобны для анализа корреляции оценок. Из (14.12), (14.13) следует, что каждое смежное значение содержит (n-2)-х общих элементов предыдущего. Фактически коррелированность смежных значений функции математического ожидания среднего составляет

r_ij =(n-2)/n = (1-2/n) (14.14)

Обычно мы сканируем не одной строкой, а матрицей n´n. Поэтому для матрицы нужно везде вместо n подставлять n². Тогда максимальная коррелированность смежных значений будет равна: (1-2/n²).

В целом корреляционная функция (ее положительная ветвь) имеет вид:

1

0.8

0.6

k k+1 k+2 k+ 3 k+n=10

Рис 14.8. Корреляционная функция оценок математического ожидания.

Функция MO{x}=x_ср будет иметь различный вид в зависимости от размеров площадки сканирования: при размере площадки в 1 пиксел это будет исходная функция, а при размере, равном всему полю – горизонтальная плоскость. Между этими двумя пределами будет набор поверхностей MO{x}= x_ср с последовательно исключаемыми частотами периодических колебаний: от высоких частот при малой площадке до все более низких с возрастанием ее площади. Площадка сканирования отфильтровывает колебания, соизмеримые с ее размерами, сглаживает исходное поле.

Можно исключить эту коррелированность и к тому же весьма существенно сократить число арифметических операций, если последовательно находить точечные оценки n*MO{x}=n*x_ср для смежных полей. Чтобы эти оценки шли более плотно, размер поля должен быть минимально допустимый, такой чтобы обеспечить достоверность оценки, например, 10*10. Считывание выполняется скачками. В последующем по этим точкам можем построить аппроксимирующую кривую (например, сплайнами), или же отыскать характерные точки, а между ними выполнить считывание скользящим полем.

Дисперсия. Тот же подход и алгоритм полностью применим к нахождению оценок функции «начальный момент второго порядка»: ν₂ = Sx_i² . По сути, это автоковариационная функция для постоянного диапазона суммирования.

Вспомним, что оценки дисперсии случайной функции (как и случайной величины) вычисляются как разность второго и квадрата первого начального момента, приходим к выводу, что оценочная функция дисперсии - как функции этих двух моментов ν₁ и ν₂ также коррелированна.

Ковариация. Рассмотрим смешанный начальный момент второго порядка – ковариационную функцию. Она служит для оценки подобия двух образов

При вычислении оценок, образующих ковариационную функцию, все дискреты оптической плотности, принадлежащие одной строке пикселов (в общем случае одному из пикселов), также многократно участвуют в вычислениях значений коэффициентов.

Однако здесь имеется коренное отличие от ранее рассмотренных оценочных функций. В оценке участвуют две реализации одного и того же случайного поля оптических плотностей. Следовательно после каждого сдвига на один пиксел одного из полей, каждому его элементу y_i ставится в соответствие уже другой элемент второго поля , не x_i, а x_i+1. Таким образом, значение x_n последовательно сочетаем с y_n, y_n-1, ..., y₁. Поэтому здесь такой очевидной коррелированности, как в двух предыдущих случаях не наблюдается. Точнее она будет проявляться в возрастающей мере с увеличением подобия поля y-ов полю x- ов. При тождественности полей этих двух реализаций мы приходим к тому уровню корреляции, который существует для начального момента второго порядка

Корреляция . Оценки коэффициентов корреляции, в отличие от оценок смешанного начального момента вычисляются так, что каждый элементx_i и каждый элементy_i центрируются и нормируются своимиν_i и σ_i. Поэтому значения оценок коэффициента корреляции также будут существенно коррелированными.