14.3. (Вероятностные) характеристики случайных функций

Для характеристики поведения СФ и их отличия от других СФ применяются следующие средства различия:

законы распределения СФ, подобные законам распределения СВ;

числовые характеристики СФ основанные на статистике

специальные характеристики СФ, основанные на неких внешних признаках СФ

14.3.1. Законы распределения

Некоторое представление о свойствах случайной функции, например, об их устойчивости, можно получить, наблюдая совокупность её реализаций. Полную характеристику её статистических свойств предоставляет её закон распределения. Он дает общее описание поведения случайной функции.

Общие вероятностные характеристики. Это законы распределения. Полной вероятностной характеристикой случайной величины D(x1) является закон ее распределения F[D(x1)]. Этот закон есть одномерный закон распределения.

Случайный вектор характеризуется многомерные законом, в котором размерность определяется числом СВ (числом координатных осей).

Случайная функция, по сути, есть случайный вектор, содержащий множество (для непрерывной СФ бесконечное) однородных случайных величин, каждая из которых следует своему закону распределения. Поэтому, чтобы характеризовать СФ подобно СВ, нужен супермногомерный закон распределения. Например, закон распределения случайной функции в k точках аргумента, совместный закон распределения F[D(x1), D(x2),…, D(xk)] k ординат будет k-мерным законом распределения этой случайной функции. Увеличив число точек аргумента, мы повысим размерность функции распределения. Создать поное описание пока нельзя. На практике пользуются весьма ограниченными описаниями, да и те очень сложны. В основном рассматривают одномерные и двумерные законы распределения.

Наиболее простым описанием случайной функции будет одномерная функция распределения. Она определяет вероятность того, что при данном фиксированном значении аргумента х любое значение С.Ф. D(x) не превысит заданный уровень ее значений d: (14.1)

где х - фиксированное значение аргумента, d - выбранный уровень случайной функции, которая определяет вероятность того, что при данном значении аргумента х любое значение случайной функции меньше некоторого значения (уровня) d.

Если функция распределения F₁(d, x) имеет частную производную по d, то существует функция плотности вероятности , (14.2)

которая называется одномерной плотностью вероятности СФ. Пробегая все значения х на отрезке абсциссы, получаем функцию плотности вероятности на этом участке для данного уровня d.

Выражения (14.1) и (14.2) дают вероятностную характеристику функции при любом значении х, но не её статистические свойства. Они не позволяют оценить периодичность D(x), не вскрывают взаимную зависимость значений d при различных х.

Для совместного анализа значений D(x) при двух уровнях пользуются двухмерными законами распределения:

двухмерной функцией распределения: (14.3)

и двухмерной плотностью вероятности, если она существует:

. (14.4)

Двухмерные законы распределения полностью характеризуют нормальные и марковские СФ.

Среди множества функций распределения СФ выделяют, как и для СВ, нормальные, равномерные и т.д. Нормальные - имеют нормальное распределение в любом сечении, параметры распределения могут, конечно, изменяться с изменением аргумента.

Анализ случайных функций общего вида требует знания законов распределения третьего, четвертого и более высоких порядков, что связано с чрезвычайно большим объёмом вычислений. Определение СФ с помощью k-мерных законов распределения неудобно вследствие их громоздкости.

На практике довольствуются вероятностными характеристиками случайной функции. Наиболее употребительны, как и для СВ, математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Применяют и другие характеристики, например, спектральные, структурные, а также – основанные на других принципах.