14.1. Понятие случайной функции

Случайные величины, зависящие от неслучайных аргументов (координат пространственных, временных или третьих) называют случайными функциями этих аргументов. Случайной функцией (СФ) в результате опыта принимает случайное значение в каждой точке аргумента. При каждом следующем опыте будут получены другие значения.

Фотографическое изображение местности, рельеф и контуры на местности, по сути, случайные функции текущих координат точки. Они могут принимать различное значение в одной и той же точке, определяемой координатами. Например, значение оптической плотности в произвольно выбранной точке кадра определяется случайным попаданием проектируемого изображения объекта в данную точку, отражательной способностью этого объекта, условиями освещенности и другими причинами. Следовательно, значение оптической плотности в этой точке есть случайная величина. Множество случайных величин на всем поле снимка образует случайную функцию неслучайных аргументов: координат точек снимка. Высота точки местности или контур также суть случайные функции плановых координат.

Случайную функцию двух и более аргументов принято называть случайным полем (СП). Фотоснимок как понятие вообще есть случайное поле.

Случайную функцию, аргументом которой служит время, называют случайным процессом.

Если случайная величина принимает только два значения: есть и нет, т.е. является событием, то случайный процесс появления событий называют потоком событий. Примером потока событий может служить считывание по некоторому направлению контуров карты.

Изобразить непрерывную случайную функцию одного аргумента можно в виде размытой полосы, тон (плотность) которой в разных местах различен, а границы могут быть как четкими, так и исчезающими. Пример, фотография дыма. Сечение в любой точке оси абсцисс даст случайную величину (см. рис.5.1а). Если по этой линии показать нормированные частоты значений, кои принимает СФ в этой точке, то получим функцию плотности вероятности этой СФ в данной точке. В общем случае разным значениям аргумента будут соответствовать разные функции плотности вероятности, т.е. распределения при разных значениях аргумента, могут быть различными.

Набор значений случайной функции, полученный в результате опыта, называют реализацией, траекторией, выборочной функцией. В реализации каждому значению аргумента соответствует одно единственное значение функции

Реализация случайной функции может быть отображена в виде графика, матрицы значений, таблицы или числовой формы (формулы).

На рис.14.1б реализация - это линия или серия точек.

Одна реализации С.Ф. аналогична одному значению случайной величины в выборке. Набор реализаций, полученный при некоторых условиях, называют ансамблем (реализаций). Ансамбль реализаций СФ соответствует выборке значений случайной величины.

Набор значений реализаций при одном конкретном значении аргумента есть сечение. Любое сечение ансамбля реализаций есть случайная выборка (случайной величины).

14.2. Типы случайных функций

В зависимости от того, принадлежат ли возможные значения аргумента x и функции D(x) дискретному множеству чисел или отрезку, различают четыре типа случайных функций:

1) непрерывная СФ. В этом случае x и D(x) могут принимать любые значения на отрезке или на всей оси x;

2) дискретная СФ. В этом случае аргумент x непрерывен, а D(x) принимает дискретные значения;

3) непрерывная случайная последовательность. Здесь x дискретен, а D(x) может принимать любые значения на отрезке или на всей оси;

4) дискретная случайная последовательность. Аргумент x и функция D(x) дискретны.

Аргумент функции может быть непрерывной или дискретной величиной. Случайную функцию дискретного аргумента называют случайной последовательностью (СП).

Значения случайной функции (С.Ф.) могут изменяться в любой точке непрерывно или скачкообразно. Точно так же может изменяться функция и при переходе от точки к точке. Соответственно можно различать непрерывные, дискретные и непрерывно-дискретные функции.

Следовательно, имеем следующие комбинации аргумента и функции.

1. Непрерывная С.Ф. Аргумент непрерывен. Функция непрерывна. Например, профиль рельефа в разных районах по одному направлению.

2. Дискретно-непрерывная С.Ф. Аргумент непрерывен. Значение функции изменяется в точке дискретно, между точками непрерывно. Например, изображение рельефа с помощью шкалы заложений или растровый образ.

3. Дискретная С.Ф. Аргумент непрерывен. Значение функции изменяется дискретно. Например, количество элементов (этажей деревьев) в данной точке.

Поток событий есть дискретная СФ, которая принимает значения 1 или 0.

4. Непрерывная С.П. Аргумент дискретен. Функция изменяется непрерывно. Значение ее фиксируется в точках аргумента. Например, считывание точек профиля с заданным шагом.

5. Дискретная С.П. Аргумент дискретен. Дискретные значения функции приписаны значениям аргумента. Например, цифровая матрица высот.

Непрерывными СФ описываются, как правило, свойства природных объектов.

Дискретные С.Ф. это счетные природные объекты или же результат преобразования непрерывной С.Ф. в ходе измерений, дискретизации или квантования. Дискретные С.П. обычно получают в результате обработки исходного объекта.

Одинаково представленные функции, относящиеся к разным объектам, будут различаться между собой как по распределению в каждой точке аргумента, так и по изменению этого распределения с изменением аргумента. Заметить это различие можно, длительно наблюдая поведение С.Ф. или анализируя совокупность большого числа реализаций С.Ф..

Подобно тому, как поведение случайной величины описывается законами распределения, числовыми характеристиками, оценками (статистиками), поведение случайной функции можно описать аналогичными, но более сложными характеристиками. Например, можно применить такую характеристику как функция распределения для некоторого сечения и зависимость ее изменения от значения аргумента. Например, в начальной точке аргумента функция следует равномерному распределению (дым выходит из трубы), на некотором удалении - нормальному, которое далее переходит в асимметричное распределение. Можно рассматривать характеристику, образно говоря, повернутую на 90⁰ к предыдущей, т.е. распределение значений С.Ф. при сечении ее линией, параллельной оси аргументов.