14.4. Основные свойства преобразования Фурье

14.4.1. Спектр периодической функции Ряд Фурье и интеграл Фурье

Периодическая функция может быть представлена рядом Фурье, т.е. суммой элементарных гармонических колебаний. (См. связь с гармоническим соотношением в аналитической геометрии).

Гармоническое колебание в пространстве описывается выражением

,

где a, b – амплитуда, X – пространственный период колебаний, 1/Х – пространственная частота, ω = 2π /X - круговая частота, ψ начальная фаза, х – текущая координата точки

Тогда представляя периодическую функцию в виде суммы гармонических колебаний с кратными частотами (т.е. суммы тех частот, отношения коих суть целые числа), получаем соответственно и суммирование.

Множество коэффициентов a называется амплитудным спектром периодической функции f(x), а множество начальных фаз ψ - фазовым спектром, причем , а .

Коэффициенты Фурье

и ..

Действительное гармоническое колебание можно согласно формулам Эйлера представить в виде двух комплексно сопряженных функций: .

Подставляя это преобразование в наш ряд, получаем, суммируя от -1 до ,. .

Положим, что начальная фаза нулевого колебания равна нулю (ψ₀ =0), а фазы и амплитуды для положительных и отрицательных гармоник n равны (ψ_n = ψ_-n и а¹_n = а¹_-n)., Тогда эти два слагаемых можем свести в одну сумму, расширив границы суммирования от - до .,

, где коэффициенты A_n определяются так .

14.4.2. Спектр непериодической функции

Пусть f(x)- непереодическая функция в ограниченной области. На ее основе можно построить периодическую функцию ,

если период Х устремить к бесконечности, т.е. распространить на всю ось х, то f(x) → f(x₁ ), nω₁ →ω, и ω₁→dω, а Σ→∫. Тогда.

Внутренний интеграл в этом выражении дает спектр (1), т.е. прямое преобразование Фурье.Отсюда есть обратное преобразование. Мы представили своюf(x) как произведение прямого и обратного преобразований.

14.4.3. Теоремы о преобразовании Фурье.

Так как в разных источниках приводятся те из теорем, котрые нужныдля решаемой задачи: свертки, перемещения, поворота и т.п., то приведем здесь подборку основных теорем.

Теорема смещения. Если функция F(,) есть Фурье-образ функции f(x,y), то F₁(,) = F(,) exp(-i2  (c + d)) будет Фурье-образом f(x-c,y-d), которая может быть получена в результате смещения f(x,y) по осям x и y на расстояния c и d соответственно.

Исходим из обратного преобразования Фурье

f(x,y) =  F(,)exp(i 2 (x + y)) dd.

Если (x,y) изменились на (x-c,y-d) , то новая функция будет

f₁(x,y) =  F(,)exp(i2 (x + y)) exp(-i2  (c + d)) dd.

Здесь пределы интегрирования от - до . Преобразуем последнее выражение, складывая числители при равных основаниях. Получаем

f₁(x,y) =  F(,) exp(i2 ((x-c) + (y-d)) d d = f(x-c, y-d).

Вывод: смещение f(x,y) приводит к появлению в Фурье-образе фазового множителя. Квадрат модуля Фурье-образа при этом постоянен, т.е. преобразование Фурье инвариантно к смещению.

Теорема подобия (масштабов). Если функция F(,) есть Фурье-образ функции f(x,y), то Фурье-образом f(m_x*x, m_y*y), где скаляры m_x>0, m_y>0, будет F₁(,) = F(/m_x, / m_y) /m_xm_y .

Доказательство. Запишем Фурье-образ f(m_x*x, m_y*y):

F_m (,)= f(m_x*x, m_y*y) exp(-i2  (x₁ /m_x,+y₁ / m_y) dx dy.

Положим x₁= m_x*x и y₁= my*y. Тогда

F_m (,)= (m_x* m_y)^-1  f(x, y) exp(-i2  (x₁ /m_x,+y₁ / m_y) dx dy.

Интеграл в правой части есть преобразование Фурье F(/m_x, / m_y), поэтому

F_m (,) = (m_x* m_y)^-1 F(/m_x, / m_y).

Пример 14.1 (продолжение). f(x) = rect (x). Ee Фурье-образ F ()=sinc(). Изменение масштаба описывается функцией f₁(x) = f(m_x*x)= rect (m_x*x). Ей соответствует Фурье-образ , где m_x =1/a.

Теорема о вращении. Если функция F(,) есть Фурье-образ функции f(x,y), то F₁(-,-) будет Фурье-образом f(-x,-y), т.е., если повернуть Фурье-образ на 180^о, то и функция повернется 180^о. Действительно, так как

f₁(x,y) =  F(-,-)exp(i 2 (x + y)) dd,

где пределы интегрирования от - до , то, заменяя = - и =-, получаем

f₁(x,y) =  F(,)exp(i 2 ((-x) + (-y))) dd = f(-x,-y).

Вывод: изменение масштаба и поворот приводят к изменению квадрата модуля при фиксированных значениях, т.е. преобразование Фурье не инвариантно к изменению масштаба и повороту. Впрочем, это очевидно: увеличив в два раза масштаб картинки (снимка) мы в два раза уменьшим пространственную частоту и в два раза увеличим амплитуду. Поворот изображения, например, самолета, приводит к изменению узора картинки по осям х и у.

Теорема о свертке. Сверткой двух функций f(x,y) и g(x,y) называется новая функция w_c(x,y), определяемая по правилу

w_c(x,y)= f(x,y)  g(x,y) = =  f(x-x₁,y-y₁)  g(x₁,y₁) dx₁ dy₁,

где пределы интегрирования от - до .

Теорема: если F(,) и G(,) суть Фурье-образы функций f(x,y) и g(x,y), тогда произведение F(,)*G(,) будет Фурье-образом свертки f(x,y)g(x,y).

Доказательство. Обратное преобразование Фурье произведения Фурье-образов F(,) * G(,) дает некую функцию

f₁(x,y) =  F(,) G(,) exp(i 2 (x + y)) d d.

Подставим сюда Фурье-образ g(x,y)

G(,) =  g(x₁,y₁) exp(-i 2 (x₁ + y₁)) dx₁ dy_1. Тогда

f₁(x,y) =  F(,){ g(x₁,y₁) exp(-i 2 (x₁+y₁)) dx₁ dy₁} exp(i 2 (x+ y))dd.

Изменяя порядок интегрирования, получаем

f₁(x,y) = g(x₁,y₁) { F(,) exp(i 2 ((x-x₁)+(y-y₁)) dd} dx₁ dy₁ =

= g(x₁,y₁) f(x-x₁,y-y₁) dx₁ dy₁ = w_c(x,y).

Итак, эта f₁(x,y) есть свертка w_c(x,y) функций f(x,y) и g(x,y) по определению. Произведение образов дает Фурье-образ свертки.

Примечание, везде пределы интегрирования от - до .

Автосвертка. Если F(,) = G(,), то обратное преобразование Фурье произведения F(,)* F(,) есть автосвертка

w_c(x,y) =  F²(,) exp(i 2 (x + y)) d d = f(x₁,y₁) f(x-x₁,y-y₁) dx₁ dy₁.

Теорема о взаимно корреляционной функции. Взаимно корреляционной функцией двух функций называют интегральное преобразование

w_k(x,y)= f(x,y)  g(x,y) =  f^ (x-x₁,y-y₁) g(x₁,y₁) dx₁ dy₁,

Здесь символпоставлен из-за отсутствия символа операции взаимной корреляции «пентаграммы» (перевернутая пятиконечная звезда из линий).

Теорема: если F(,) и G(,) суть Фурье-образы f(x,y) и g(x,y) соответственно, то произведение F^(,)G(,) (где F^(,) сопряженная функция F(,)) будет Фурье-образом взаимной корреляции f(x,y)  g(x,y). Пусть

f₁(x,y) =  F^(,) G(,) exp(-i 2 (x + y)) d d.

Так как Фурье-образ f(x,y)

F(,) =  f(x₁,y₁) exp(-i 2 (x₁ + y₁)) dx₁ dy₁, то, сопряженная функция

F^(,) =  f^(x₁,y₁) exp(i 2 (x₁ + y₁)) dx₁ dy₁.

Подставим в исходную формулу F^(,):

f₁(x,y)= {f^(x₁,y₁) exp(i 2(x₁+y₁))dx₁ dy₁}G(,) exp(-i2(x+y))dd

Меняя порядок интегрирования, получим

f₁(x,y) =  f^(x₁,y₁) { G(,)exp(i 2((x+x₁) + (y+y₁)) d d} dx₁ dy₁.

Интеграл в фигурных скобках по определению есть g(x+x₁,y+y₁). Поэтому

f₁(x,y) = f^(x₁,y₁) g(x+x₁,y+y₁) dx₁ dy₁ = w_k(x,y). Dixi.

Автокорреляция. Если F(,) = G(,), то обратное преобразование Фурье от F^ (,)* F(,) есть автокорреляция функции f(x,y):

w_k(x,y)= F^(,)F(,) exp(-i 2 (x + y)) d d =

=  f^(x₁,y₁) f(x+x₁,y+y₁) dx₁ dy₁.

Связь взаимной корреляции и свертки:

f(x,y)  g(x,y) = f^(x,y) g(-x,-y).

Теорема отсчетов. Пусть f(x,y) и F() пара преобразования Фурье и F() отлична от нуля в ограниченной области || = max, следовательно

f(x,y) =  F() exp(i 2 x) d (интегрируется в этой области).

В таком случае функция полностью определяется отсчетами (ординатами), что и отражает теорема отсчетов (теорема выборки, теорема Котельникова):

если f(x,y) имеет ограниченный спектр, заключенный между -_max и  _max, то она полностью определяется путем задания отсчетов в последовательных точках, которые отстоят одна от другой на расстоянии 1/2_max. Или: если f(x,y) задана в ограниченной области -x _max  x  x _max, то ее спектр F() полностью определяется отсчетами в последовательных точках, отстоящих друг от друга на расстоянии 1/2 x _max.

Рис.14.3. Площадка сканирования

Рис.5/2/.4. Площадка сканирования вид сверху.

Рис.14.5. Поле поиска

Рис.14.5. Поле поиска вид сверху