14.3.4. Связь понятий ковариационная матрица и ковариационная функция

Возьмем случайный вектор X^т значений в точках, разделенных интервалом . Тогда ковариационная матрица вектора будет .

Эта матрица показывает, что суммы коэффициентов на главной и параллельных ей диагоналяхсуть ни что иное как соответствующие значения ковариационной функцииК для пар точек СФ, разделенных интервалом (j*). Наглядно видно также, что суммы с удалением от главной диагонали уменьшаются. Ввиду чего угловые и близкие к углам ковариации определяются крайне ненадежно.

14.3.5. Спектральные характеристики

Изменение оптической плотности вдоль линии изображения носит колебательный характер. Его можно представить в виде суммы гармонических колебаний с различной пространственной частотой (гармоник).

Частоты колебаний определяются в этом случае геометрической структурой объекта (размерами его элементов), а амплитуды – значениями оптической плотности этих элементов. Отрезок записи изображения L_x можно рассматривать как длину волны периодической функции с пространственным периодом L_x, тогда круговая пространственная частота и пространственный спектр реализацииD(x) или спектральная плотность амплитуд бесконечного числа гармонических колебаний, составляющих в сумме реализацию D(x), выражается преобразованием Фурье: . (14.13)

Спектральная плотность позволяет определить, какую часть этой суммы составляют колебания с данной частотой _x. Следовательно, она характеризует интенсивность изменения оптической плотности в той или иной области пространственных частот. Размерность – амплитуда оптической плотности, ₀=-m_(x), отнесённая к единичному интервалу пространственной частоты, т. е. [₀/_x].

Абсолютное значение называют спектром амплитуд.

На практике при анализе реализации D(x) конечной длины L_x получается текущий спектр амплитуд. Для определения этого спектра реализацию центрируют и ограничивают следующим образом:

(14.14)

Тогда текущим спектром S_L(x) будет преобразование Фурье функции D_0L(x)

S_L(x)=0^Lx D_L(x)exp(-ix)dx (14.15)

Формулы (14.13) и (14.15) могут применяться при абсолютной интегрируемости функции D_x в промежутке от - до  или от 0 до L_x.

Аналогично спектру реализации дается спектральная характеристика стационарной случайной функции. Различие в том, что амплитуды колебаний случайной функции величины случайные. Поэтому спектр стационарной случайной функции описывает распределение дисперсий по различным частотам _x.

Спектральная плотность дисперсий G(_x) спектральной случайной величины может быть определена:

через текущий спектр таким предельным переходом:

G(_x)=lim_(Lx0)1/L_xMS_L(x)² (14.16)

через известную корреляционную функцию K_d(x) и косинус-преобразование Фурье

G(_x)=2/ ₀^Lx (K_d(x)cos(_x)x)dx (14.17)

Размерность G(_x) - квадрат амплитуды оптической плотности, отнесённый к единичному интервалу пространственной частоты, т. е. [d₀²/ _x].

Изображение площадного объекта, имеющее равномерную структуру (нулевую пространственную частоту) и малую дисперсию оптической плотности (контрастность, амплитуду), характеризуется спектральной плотностью дисперсии в виде острого импульса на частоте, близкой к _x=0.

Изображение, содержащее периодическую составляющую на пространственной частоте _x=₁, характеризуется спектральной плотностью дисперсии в виде острого импульса на этой частоте.

В общем случае функция состоит из непрерывной части (основного фона изображения) и некоторого числа пиков (периодичность структуры объектов) на отдельных частотах.

14.3.6.. Примеры преобразование Фурье и спектров функций

Пусть преобразование Фурье (14.13): S(_x)= D(x)exp(-i_x x)dx.

Пример 14.1. Рассмотрим простейшую непериодическую функцию прямоугольный импульс, высота которого равна единице, ширина равна a, (рис.14.1): .

Выполним преобразование Фурье для этой функции, задавая пределы интегрирования на x = -a/2 , x= а/2:

S(_x)= rect (x/a) exp(-i_x x)dx =1 *e(-i_x x)dx =

= [exp(-i_x (а/2)) - exp(-i_x (-а/2) ) ]/( -i_x) .

Вспомнив, что [exp(-i u) - exp(i u)] /(-2i) = sinc u, получаем, полагая u= _xa/2 (проверить)

S(_x)=a -sin(_xa/2) / 2(_xa/2) =a sin(_xa/2) / (_x a/2) = a sinc(_xa/2)

Спектральная плотность, спектр (Фурье-образ) на частоте =0 будет равна S(_x)/а=1, так как sinc a  1 при а  0. Далее идут затухающие колебания с периодом 1/а. Графически это показано на рис.14. 2 .

Если взять более широкий импульс а₁>a, то 1/a₁< 1/a, т.е. период колебаний уменьшится, и пик вблизи =0 будет более острым. Итак, чем меньше частота (чем шире прямоугольная функция rect), тем спектр уже и, наоборот, с уменьшением ширины импульса частота увеличивается, пик вблизи =0 становится тупым.

f(x)

-a/2 0 a/2 x

Рис.14.1. Функция f(x)= rect (x/a)

Рис. 14.2. Положительная ветвь спектра функции rect(a).

Пример 14.2. Рассмотрим функцию Дирака, подобную предыдущей, но сохраняющую постоянной площадь прямоугольника,

Функция Дирака ( - функция)- это высота прямоугольника, площадь которого равна единице, а основание стремится к нулю, например, бесконечно малая точка бесконечно большой яркости,

.

Отсюда Фурье-образ  - функции будет с учетом определения sinc .

Вывод:  - функции соответствует непрерывный спектр частот, которые реализуются с одной и той же вероятностью.

Если  - функция смещена на x₀ относительно начала, то ее спектр .

Полагая (x- x₀) =x1, имеем

14.3.7. Структурная характеристика.

Для статистического описания некоторых случайных функций, не обладающих свойством стационарности, А. Н. Колмогоров ввел понятие структурной функции.

Структурной функцией случайной функции D(x) называется математическое ожидание квадрата разности значений случайной функции в двух точках х₁ и х₂, разделенных интервалом х. Обозначим структурную функцию через C_d(x₂, x₁).

Если при анализе изображений анализировать не сами оптические плотности в х₁ и х₂, а их разности, то C_d(x₂, x₁) будет основной характеристикой приращений d(x₂, x₁).

Так как основную информацию о площадном топографическом объекте (в отличие от компактного и линейного) имеет не контур, а структура внутри контура на снимке, то следует использовать приращения d(x₂, x₁), так как оптическая плотность (тон изображения) не дает однозначной информации для дешифрирования объекта.

Отметим, что любая стационарная СФ также будет и функцией со стационарными приращениями. Однако функции со стационарными приращениями могут соответствовать и нестационарным случайным функциям. Несоблюдение равенства указывает на нестационарность случайной функции.

Для анализа фотоизображения представляют интерес следующие свойства структурной функции:

1) большая по сравнению с K_d(x₁, x₂) устойчивость при анализе нестационарных случайных функций;

2) инвариантность параметров относительно некоторых форм нестационарности, например, при смещенности по m_d(x₂, x₁);

3) возможность оперативного определения параметров скрытых периодических составляющих случайной функции;

4) большая надежность и простота вычисления структурных функций (по сравнению с корреляторами).

Корреляционные и числовые характеристики (их оценки), имеющие для нас большее значение, подробнее рассмотрим ниже.