Применяют также начальную двумерную ковариационную функцию второго порядка, так как она требует меньше вычислений, , (14.10)

Откуда . (14.11)

В начальной точке она равна начальному моменту второго порядка ₂. С возрастанием x_i = x_j -x_i она, если СФ непериодическая, стремится к квадрату математического ожидания ₁² .

Для стационарного случайного процесса К зависит только от разности аргументов x_i = x_j -x_i, не зависит от выбора начала отсчета x_i .

(Временная КФ предполагает усреднение одной реализации по времени, для ранее рассмотренных КФ пространственных предполагалось усреднение по ансамблю реализаций.)

Нормированная центрированная ковариационная функция = корреляционная функция - это ковариационная центральная функция, нормированная в каждой точке стандартами сечения в этой точке,

, (14.12)

При .ибо по ним выч дисперсии, получим неопред. или разрыв?

в отличие от коэффициента корреляции при использовании средних D_ср значения _i и _j могут быть периодически нулевыми, т.е. нормирование не проходит? K(ij) д.б.=0

В начальной точке корреляционная функция равна единице. С возрастанием x_i = x_j -x_i , непериодическая КФ стремится к нулю.

Корреляционная функция характеризует парную корреляцию, т.е. связь между парами значений СФ для разных значений аргументов и разных разделяющих их интервалов:

Если есть ансамбль реализаций, то можно находить множество разностей между значениями в первом сечении и значениями во всех последующих сечениях для возрастающего аргумента. Затем второго сечения и всех последующих и т.д. В результате получим серию оценок КФ для разных начальных сечений. Это позволяет оценить влияние начала на изменение формы корреляционной функции. Такой подход пригоден для любой СФ.

Если есть одна реализация, то корреляция может вычисляться по сериям разностей значений СФ при шаге, изменяющемся от 1 до k<n.

шаг 0 (n-0) пар значений 1-1 2-2 3-3 4-4... (n-1)-n сама с собой

шаг 1 (n-1) пара значений 1-2 2-3 3-4 4-5... (n-2)-n с соседней

шаг 2 (n-2) пары значений 1-3 2-4 3-5 4-6.... (n-3)-n через одну

шаг 3 (n-3) пары значений 1-4 2-5 3-6 4-7.... (n-4)-n

шаг 4 (n-4) пары значений 1-5 2-6 3-7 4-8.... (n-5)-n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

шаг n-1 (n-(n-1)) одна пара значений ((n-(n-1)-n

Здесь шаг скользит по одной реализаци, а не по сечениям ансамбля, (что не вполне согласуется с общим определением корреляции). Подходит для временной реализации

Здесь, во-первых, мы не определяем связь с началом отсчета, так как нет начального значения, относительно коего сравнивают все остальные;

во-вторых, одно и то же значение участвует в вычислениях многократно, т.е. вычисленные для разных шагов значения оценок корреляционной функции будут коррелированны вследствие методики их определения,

в-третьих, в вычислениях участвуют одни и те же пары, как при начале в точке 1, так и при начале в точке n; вычисленные при этих началах функции будут симметричны.

Для стационарного случайного процесса _i=_j = =const. КФ зависит только от разности x_i = x_j -x_i, не зависит от выбора начала отсчета x_i . Поэтому предложенное выше нахождение КФ для него вполне правомерно.

Корреляционную функцию, определяемую для разных аргументов одной СФ, называют автокорреляционной функцией, а для двух СФ - взаимнокореляционной.

По типу корреляционной функции СФ классифицируют как

экспоненциально коррелированные (они имеют максимум в начальной точке и минимум в конечной) ;

экспоненциально-косинусно коррелированные(они имеют максимум в начальной точке и минимум в конечной а между ними перегибы или промежу-точные максимумы и минимумы в зависимости от ослабления корреляции сохраняющиеся или затухающие)

дельта-коррелированные - белый шум (корреляция замечается для отдельных пар точек) ;

некоррелированные - по всей оси абсцисс корреляционная функция тождественно равна нулю .

Взаимной корреляционной функцией называют КФ, определяемую для разных аргументов двух СФ. При совмещении точек начала отсчета D₁(x_i) и D₂(x_j) аргументы обеих функций будут одни и те же. При каком-то значении аргумента x_k = x_i - x_iнач = x_j - x_jнач значение КФ достигнет максимума. Поведение КФ с возрастанием (убыванием) аргумента относительно этой точки то же, что приведено в предыдущем абзаце.

Если СФ Z есть сумма двух СФ X и Y, то математическое ожидание СФ Z равна сумме математических ожиданий каждой из слагаемых, а корреляционная функция .

Корреляционные функции высших порядков (кумулятивные КФ). Эти функции характеризуют связь между тройками, четверками и т.д. значений СФ.

КФ третьего порядка

По аналогии с частным коэффициентом корреляции частная КФ характеризует связь между двумя случайными переменными без учета влияния остальной совокупности.