14.3.2. Числовые характеристики случайных функций

Математическим ожиданием случайной функции D(x)называется такая неслучайная функция D_ср(x), которая при каждом допустимом значении аргумента x=xi равна математическому ожиданию МО функции D(x_i).

(14.5)

МО есть вероятностное осреднение значений случайной функции при каждом данном значении аргумента х, весом функции служит значение одномерной плотности вероятности f₁(d, x):

. (14.6)

D_ср(x) характеризует среднее значение оптической плотности изображения. Так, усредняя разброс одного объекта для нескольких реализаций его в некоторой точке х, получим среднюю плотность в этой точке. При одной реализации можем получить среднюю плотность на интервале, на строке изображения или на всем образе.

Дисперсией случайной функции D(x) называется такая неслучайная функция ²(x), значение которой при каждом данном допустимом значении аргумента x=x_i равно дисперсии ²(x_i) CФ при этом же значении аргумента: (14.7)

Дисперсия характеризует разброс реализаций СФ относительно D_ср(x).

Средним квадратическим отклонением (x) случайной функции называется неслучайная неотрицательная функция, принимающая значение положительного корня квадратного из ее дисперсии. Оптическая плотность – положительная величина. Разность [d- D_ср(x)] принимает положительные и отрицательные значения, а (x) только положительные и нулевые. Поэтому она характеризует по модулю разброс значений оптической плотности изображений одного и того же объекта (точки объекта) на разных снимках (реализациях). Максимальное значение (x) между двумя соседними нулевыми его значениями, разделенными интервалом – модуль преобладающего фотографического контраста.

Эти характеристики позволяют выявить общие свойства СФ.

Но СФ –это более сложная структура, нежели вектор

По степени зависимости характеристик СФ от начала отсчета аргумента СФ различают два класса:

стационарные СФ (СП) статистические характеристики коих постоянны при изменении начала отсчета;

нестационарные СФ, значения их характеристик изменяются с переносом начала отсчета.

По различию характеристик, определяемых из одной и множества реализаций - на два подкласса

эргодические СФ; их характеристики, вычисленные по усреднению реализаций, совпадают с характеристиками, вычисленными по одной реализации соответствующей длины

неэргодические - не обладают указанным свойством (изменяется МО или дисперсия или некоторая третьи характеристики).

14.3.3.Корреляционные характеристики случайных функций

Теория статистической связи введена в 1926 г. русским статистиком А.А.Чупровым

Для характеристики статистической связи значений СФ при разных значениях аргумента одной или разных функций применяют ковариационные функции. Используют ковариационные функции второго и более высоких порядков.

Ковариационной ( корреляционной) функцией случайной функции D(x) называется неслучайная функция K_d(x_i, xj), которая при каждой паре допустимых значений аргументов x_i, xj равна ковариации Cov(x_i, xj) пары сечений СФ D(x_i) и D(xj) в этих точках (второй центральный смешанный момент):

(14.8)

или, упрощая обозначения D(x_i)= D_i, D_ср(x_i)= D_срi, K_d(x_i, x_j) = K(i,j),

(14.9)

где f(x_i,x_j) - двумерная плотность вероятности.

Это моментная двумерная центральная неслучайная функция второго порядка.

Здесь фигурируют два значения аргумента x_i, x_j, которые можем представить как начальное значение x_iначал и шаг , Δx_j . Соответственно можем искать значения корреляции (а) в зависимости от начала при постоянном шаге и (б) при постоянном начале в зависимости от длины шага. Случай (а) позволяет выявить неоднородность образа (нестационарность) по некоторой линии. Случай (б) работает, когда, например, сравнивают левый образ стереопары с правым, сдвигая правую матрицу на 1 пиксел, два пиксела и т.д. для нахождения максимума функции, т.е. максимума подобия образов.

Положим, что сечение в точке x_i будет начальным, т.е. будем искать корреляцию относительно этой начальной точки. Тогда значение x_j будет текущим. Расстояние x_i = x_j -x_i изменяется от нуля до заданного значения. Вариант, точка x_i перемещается по оси, ковариация ищется между парами сечений, разделенных интервалом x_i = x_j -x_i, как функция этого интервала. Интервал изменяется от нуля до значения, когда функция повторяется (период) или достигла постоянного значения, в частности нулевого. Здесь ковариация связана не с первой точкой, а с интервалом.

Ковариационная функция характеризует изменение или ослабление линейной статистической связи в зависимости от

а) положения точки, выбранной в качестве начальной,

б) изменения расстояния (интервала) x_i = x_j -x_i между парами точек.

В начальной точке (или при x_i=0) ковариационная центральная функция равна дисперсии (в этой точке). С увеличением x_i = x_j -x_i , непериодическая СФ стремится к нулю.