Примеры решения задач. Задача 1.

В схеме до замыкания ключа был установившийся режим: R1=R2=R3=50 Ом С=100 мкФ Е=150 В

Требуется найти : 1) полные ,принужденные и свободные составляющие токов i1,i2,i3 иUcприt=0+, а также начальное значение производной от свободного напряжения на конденсаторе;

2) токи i1,i2,i3 и напряжениеUcв функции времени .

Решение первой части:

До коммутации i2(0-)=0 иi1(0-)=i3(0-)=E/(R1+R2+R3) =150/150 = 1A.

Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе R3:Uc(0-)=i3(0-)R3=1*50 =50 В

Найдем принужденные значения токов и напряжений после коммутации :

i1пр=i3пр=E/(R1+R3)=150/100=1.5 А

Ucпр(0+)=i3пр(0+)*R3 = 1.5*50=75 В

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура ,образованного первой и второй ветвями при i=0+:i1(0+)*R1+Uc(0+)==E,ноUc(0+)=Uc(0-)

Поэтому : i(0+)=(E-Uc(0-))/R1=(150-50)/50=2 А

Из уравнения Uc(0+)=i3(0+)*R3 получимi3(0+)=Uc(0+)/R3=1 А

По первому закону Кирхгофа i1(0+)=i2(0+)+i3(0+).Следовательноi2(0+)=i1(0+)-i3(0+)=2-1=1 А

Свободные составляющие тока и напряжения при i=0+ определим как разности между полными и принужденными величинами :Ucсв(0+)=Uc(0+)-Ucпр(0+)=50-75= -25 Вi1св(0+)=i1(0+)—i1пр(0+)=2-1.5=0.5 Аi2св(0+)=i2(0+)-i2пр(0+)=1-0=1 Аi3св(0+)=i3(0+)-i3пр(0+)=1-1.5= -0.5 А

Так как свободный ток через конденсатор iсв=C*dUcсв/dt, тоdUcсв /dt=iсв/C

В рассматриваемом примере

(dUcсв/dt)=i2св(0+)/C=1/(100*) = В/с

Решение второй части задачи.

Характеристическое уравнение для послекоммутационной схемы p*R1*R3*C+R1+R3 = 0 имеет один кореньp= - (R1+R3)/R1*R3*C= - 400

Каждый ток равен сумме принужденной и свободной составляющей А*,где А равно значению свободной составляющей приt=0+

.i1=1.5+ 0.5 * А i2 = А i3=1.5 – 0.5* А Uc = 75 – 25 * В

Задача решена

Задача 2.

В схеме до замыкания ключа был установившийся режим :R1=R2=2 Ом;e(t)=127 *sin(wt-50) В

w=314 рад/c.Требуется определить :1)iсв(0+);2)закон изменения тока в цепи после коммутации.

Решение первой части :

Комплексная амплитуда тока в цепи до коммутации

Im=127*e/(4+3j)=25,4*eА

Мгновенное значение тока до коммутации i=25.4*sin(wt-86’50’’)A

В момент коммутации (при wt=0)

.i(0-)=25.4*sin (-86’50”)=-25.35 A

Принужденный ток после коммутации

Im= 127*e/(2+3j)=35.2*eA

Мгновенное значение принужденного тока

.iср=35.2*sin(wt-106’20”) A

iпр(0+)=35.2*sin(-106’20”)=-33.8 A

По первому закону коммутации i(0-)=i(0+)=-25.35 А

Но i(0+)=iпр(0+)+iсв(0+).Следовательно ,iсв(0+)=i(0+)-iпр(0+)=-25.35 + 33.8 = 8.45 А

Решение второй части :

Характеристическое уравнение pL+R2=0 имеет корень

p=-R2/L=-R2/(wL/w)=-210c

По данным первой части задачи ток в цепи до коммутации : i=25.4*sin(wt-86’50” ) А

Мгновенное значение принужденного тока после коммутации : iпр=35.2*sin(wt-106’20”) А ;iсв(0+)=8.45А

Следовательно , i=iпр+iсв=35.2*sin(wt-106’20”)+8.45*eА