Короткое замыкание rlцепи.

R₀ R

E

L

В момент времени t= 0 ключ замыкается. Ток в цепи до коммутацииE/(R₀+R). Требуется определить ток после коммутации.

Уравнение по закону Кирхгофа:

По закону коммутации:

Если бы в цепи протекал переменный ток, то в решении изменится только

A = i(0-).

Таким образом, для любой точки проекция касательной в этой точке на ось времени есть величина постоянная const=.



CDt

Энергия, рассеиваемая в сопротивлении:

– равна энергии, запасенной в индуктивности.

Включение rl цепи на постоянное напряжение.

R

EL

Решение:

Однородное уравнение:

i U_L

Ei_Liодно и то же

U_L t

Включение rlцепи на синусоидальное напряжение.

принужденный ток: свободный ток:

i i_пр

i

t



i_св

1.  - = 0 – свободная составляющая отсутствует. В цепи сразу возникает установившийся ток.

2.  - =2 и, то через т2 ток в катушке индуктивности превышает амплитудное значение в 2 раза:i_max2I_{m уст}.

Включение rcцепи на постоянное напряжение.

R

EC

Решение:

Из начальных условий U_C(0-) =U_C(0+) = 0

Значение тока в момент включения соответствует накоротко замкнутой ёмкости.

Переходные процессы при мгновенном изменении параметров цепи.

Задача решается по такой схеме:

R₁i i₁ i₂

E L

r R₂

1. Составляются диф. ур.

2. Решаем диф. ур.

1. Определяем постоянные интегрирования из законов коммутации.

Например, для схемы требуется найти токи

i(0)

i()

t

Переходные процессы при мгновенном изменении параметров цепи (L или C).

Диф. уравнение (схему см. ниже):

Его решение:

R₁L₁

ER₂

L₂

Однако применение закона коммутации для определения постоянной интегрирования встречает трудности. Это задача с некорректными начальными условиями. Здесь при идеализации задачи предполагаем, что в момент коммутации ток изменяется скачком. Напряжения на индуктивностях будут равны бесконечности при конечном напряжении источника питания. Поэтому приходим к выводу, что напряжения на индуктивностях должны быть равны по величине и противоположны по знаку:

Интегрируем полученное выражение в пределах [0-; 0+]

До коммутации:

После коммутации:

Следовательно:

С другой стороны:

Окончательно:

При определенных соотношениях может быть A= 0:

.

То есть новое установившееся значение тока получаем сразу после коммутации. Если сделать катушку с изоляцией, способной выдержать большое перенапряжение, то простым устройством можно менять ток в индуктивности.

Разряд конденсатора на rlцепь.

RУравнение:

U₀или:

Составляем характеристическое уравнение:

Установившийся режим нулевой, поэтому:

Постоянные интегрирования находятся из условий:

i (0-) = i (0+)  A₁ + A₂ = 0

Напряжение на индуктивности:

Напряжение на активном сопротивлении:

Напряжение на емкости:

Возможные варианты этих зависимостей определяют корни характеристического уравнения:

I. Корни вещественные и различны.

II. Корни вещественные и равны.

III. Корни комплексные.

I. Апериодический разряд:

При этом: p₁< 0 иp₂< 0;p₂>p₁

Следовательно:

Значит:

1. Ток не меняет своего направления.

2. При U₀ > 0 i < 0.

3. Конденсатор все время разряжается, т.е. U_С> 0.

4. Поскольку ток не меняет своего направления, должен быть максимум.

I_maxнаходят из условия:di/dt= 0. В это время напряжение на индуктивности равно нулю.

5. U_maxнаходится из условия:

Следовательно:

II.Предельный случай апериодического разряда.

Выражение для тока становится неопределенным:

Для раскрытия неопределенности рассмотрим предел полученного выражения при:

При кратных корнях всегда приходится раскрывать неопределенность.

t_mможно найти из условия:U= 0. Откудаt_m= - 1 /p.

Кривые токов и напряжений своей формы не изменяют.

III.Периодический разряд.

Введем обозначения:

Тогда в случае можно записать

Тогда в данных обозначениях можно записать выражение для тока:

Используя формулу Эйлера можно получить:

Таким образом, имеем затухающий колебательный процесс. Напряжение на индуктивности:

Поскольку.

Напряжение на емкости:

используя, что

1. Строим ток i(t).

2. 

3. 

4. Угол - угол между нулём тока и нулёмU_C.

U₀ U_R

 



it

2

U_L

В предельном случае R=0;=0;=/2.

U₀U_R

t

i

-U₀U_L