§3 Разностная аппроксимация простейших

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

Пусть дан линейный дифференциальный оператор , действующий на функцию. Заменяя входящие впроизводные разностными отношениями, получим вместоразностное выражение, являющееся линейными комбинациями значений сеточной функцииv_h на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая приближенная замена наназываетсяаппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором ( или разностной аппроксимацией оператора ).

Изучение разностных аппроксимаций оператора вначале производят локально, т.е. в любой фиксированной точке x области _h. Прежде чем приступать к разностной аппроксимации оператора необходимо выбрать шаблон, т.е. указать множество соседних с узлом х_i узлов, в которых значения сеточной функции могут быть использованы для аппроксимации оператора .

Рассмотрим оператор, соответствующий первой производной .На двухточечном шаблоне x, x+h и x-h в зависимости от шаблона получим две конечно-разностные аппроксимации:

- правая разностная аппроксимация; (1)

- левая разностная аппроксимация; (2)

Кроме того, в качестве разностной аппроксимации производной можно взять линейную комбинацию выражений (1) и (2) , где- весовой коэффициент.

При получаем центральную разностную производную

(3)

Таким образом оказывается, что можно написать бесчисленное множество разностных выражений, аппроксимирующих .Возникает вопрос, какую ошибку мы допускаем, используя ту или иную разностную аппроксимацию, и как ведет себя разность приh->0. Величина называетсяпогрешностью разностной аппроксимации в точке .

В предположении, что имеет нужное количество производных, разложим ее по формуле Тейлора:

(4)

Подставляя (4) в (1) – (3), получаем

- погрешность для правой разностной аппроксимации;

- погрешность для левой разностной аппроксимации;

- погрешность для центральной разностной аппроксимации;

Остуда следует, что аппроксимация производной на трехточечном шаблоне имеет на порядок меньшую погрешность, чем на двухточечном.

Говорят, что аппроксимирует дифференциальный операторс порядкомm>0 в точке , если

Рассмотрим оператор, соответствующий второй производной: на трехточечном шаблоне . Аппроксимация имеет вид:

(5)

Так как , то (5) можно записать в виде:

Подставляя Тейлоровское разложение (4) в (5) получим равенство:

,

из которого следует, что погрешность разностной аппроксимации второй производной равна

,

если четвертая производная ограниченна при .

Рассмотрим оператор дифференцирования в уравнении теплопроводности:

,

Пусть - фиксированная точка плоскости;- шаги двумерной сетки. Что бы написать разностную аппроксимациюдля операторанеобходимо определить шаблон. Например, один из следующих видов:

шаблон I шаблон II шаблон III

На шаблоне Iпервую производную поtаппроксимируем правой разностной производной аналогично (1), а вторую производную поаппроксимируем центральной разностью по формуле (5). Получаем аппроксимацию вида:

;

(6)

Для шаблона IIаппроксимация оператора имеет вид:

;

(7)

Взяв линейную комбинацию (6) и (7), получим однопараметрическое семейство разностных операторов, заданных на шаблоне III:

(8)

Вычислим порядок аппроксимации приведенных операторов:

На шаблоне I:

На шаблоне II: (аналогично шаблону I )

На шаблоне III:

Положим в (8) . Для вычисления погрешности аппроксимации оператораиспользуем следующие Тейлоровские разложения:

.

Исключая из этих равенств , получим

Тейлоровское разложение для вторых конечных разностей имогут быть записаны в виде:

Учитывая (8) и разложения для , получим:

Погрешность