Московский Государственный Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

кафедра Высшей математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по

“Численным методам”

на тему

“Приближённое решение краевых задач математической физики методом сеток”.

Выполнил: Сухарев А.В. Руководитель: Лесин В. В.

Москва, 2002 год.

Методические указания и постановка задачи.

1. Тема.

Приближенное решение краевых задач математической физики методом сеток.

2. Цель работы.

Изучить основные понятия теории конечно-разностных методов решения краевых задач математической физики и уметь применять их на практике. Численное решение задачи осуществляется на персональной ЭВМ в среде MATLAB. Преимущество использования этой cреды — богатый набор командных программ, реализующих большинство стандартных задач линейной алгебры и методов оптимизации, а также статистической обработки результатов. MATLAB обладает также хорошими графическими возможностями отображения результатов.

3. Порядок работы.

1. Познакомиться с основными понятиями метода сеток и методикой численного решения разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу. Наиболее полно все основные понятия метода сеток изложены в [1,2]. Достаточной теоретической базой может служить методическое пособие [3].

2. Классифицировать уравнение и проверить корректность постановки данной в варианте краевой задачи и соответствие её физическому смыслу.

3. Разобраться с методикой построения явных и неявных разностных схем конечно-разностных систем для данного типа уравнения.

4. Разобраться с устойчивыми методами решения явной и неявной схем.

5. Реализовать программу, осуществляющую решение в среде MATLAB.

6. Получить численные результаты для своего варианта. Оформить их в виде таблиц, построить необходимые кривые и поверхности уровней, иллюстрирующие решение задачи.

7. Оформить курсовую работу в соответствии с общим требованиями к курсовым работам. В теоретической части должны быть кратко освещены следующие вопросы:

▪Классификация уравнения. Вскрыть физический смысл тех явлений, которые описываются данной математической постановкой задачи.

▪Корректная постановка: граничные и начальные условия и их соответствие физическому смыслу.

▪Понятия: сеточный шаблон, порядок аппроксимации разностных схем, сходимость, устойчивость решения.

▪Выбор шагов сетки и оценка погрешности метода.

Теоретические сведения.

§1 Классификация задач.

Линейное уравнение второго порядка в частных производных в общем случае имеет вид:

(1)

где a, b, c, d, e, g, f - известные функции от x и y. Если a, b, c, d, e, g – константы, то (1) называется уравнением с постоянными коэффициентами. Если f(x, y)=0, то уравнение является однородным.

Уравнение (1) называется эллиптическим, если D < 0; гиперболическим,

если D > 0; параболическим, если D = 0. D - дискриминант квадратичной формы :

При помощи невырожденного преобразования U(x, y)

уравнение (1) можно привести к одному из следующих канонических видов:

эллиптический

гиперболический

параболический