Постановка задач.

При математическом описании физического процесса надо прежде всего поставить задачу, т. е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Диффиренциальные уравнения имеют бессчисленное множество решений, поэтому для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия. Они формулируются в виде так называемых краевых и начальных условий. Краевые и начальные условия зависят от типа уравнения. Задача, в которой поставлены краевые и начальные условия называется смешанной задачей.

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим процесс распределения тепла в однородном стержне длины . Пусть- значение температуры стержня в точкев момент времени.

Первая краевая задача ля уравнения теплопроводности состоит в поиске решения уравнения теплопроводности: при,, удовлетворяющего начальному условию:,, и граничным условиям:,; где - известная плотность источников тепла, - коэффициент темпиратуропроводности.

Граничные условия могут быть различными в зависимости от заданного режима: - граничное условие первого рода, означающее, что температура на левом конце стержня изменяется со временем по заданному закону;- граничное условие второго рода, означающее, что поток тепла на правой границы стержня изменяется по заданному закону;

- граничное условие третьего рода, означающее, что на правом конце стержня по закону Ньютона происходит теплообмен с окружающей средой, температура известна.

§2 Сеточные функции и сеточные пространства.

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область G непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых и будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возьмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называется сеткой, отдельные точки – узлы сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

На пример, зададим отрезок [0,1] и построим сетку с равномерным шагом, разбив отрезок на N равных частей точками . Расстояние между соседними узламиназывается шагом сетки, точки деления- узлами сетки. Множество всех узлови составляет сетку. В это множество можно включить граничные точкии. Обозначим. На данном отрезке вместо функции непрерывного аргументабудем рассматривать функцию дискретного аргумента .Значения этой функции вычисляются в узлах сетки , а сама функция зависит от шага сетки, как от параметра.

Замена области непрерывного изменения аргумента областью его дискретного изменения (сеткой) приводит к необходимости перенесения свойств функциональных пространств на так называемые сеточные пространства.

<<Определение: линейное пространство H называется нормированным, если для каждого элемента определенно вещественное число, называемое нормой, которое удовлетворяет следующим условиям:>>

1)

2)неравенство треугольника;

3),- комплексное число;

Функции , являющиеся решением соответствующих краевых задач, принадлежат некоторому функциональному пространству . Множество сеточных функцийобразуют пространство . Таким образом, используя меток конечных разностей, заменяем пространствопространствомсеточных функций. Поскольку число узлов в сетке конечно, пространство- конечномерное. В линейном пространствевводится норма, являющаяся сеточным аналогом нормыв исходном пространстве