Решение задачи с помощью явной разностной схемы
В явной разностной схеме значение сеточной функции на последующем слое полностью определяется значением её на предыдущем слое по рекуррентным формулам. Явная конечно-разностная схема для данной задачи получается, если использовать шаблон I рассмотренный в “Теоретические сведения”.
2.1 Аппроксимация дифференциального уравнения
Значение температуры на j+1 слое явно вырежется через значение температуры на j слое по формуле:
2.2 Аппроксимация начального условия.
2.3 Аппроксимация 1-го граничного условия.
Для
аппроксимации граничного условия
второго рода разложим в ряд Тейлора
функцию
в окрестности точки (0,t):
Подставим
сюда
из уравнения теплопроводности и выразим
производную
в точке
:
2.4 Аппроксимация 2-го граничного условия.
Для аппроксимации граничного условия третьего рода разложим в ряд Тейлора функцию в окрестности точки (1,t):
Подставим сюда из уравнения теплопроводности и выразим производную в точке :
Порядок
аппроксимации данной разностной схемы
Практическая
реализация данного метода возможна
лишь при таких соотношениях между шагами
сетки
и
при которых выполняется условие
устойчивости решения к ошибкам округления
и неточностям в начальных данных. Это
условие имеет вид
.
Текст функции, вычисляющий матрицу
решения размерностью
приведён в приложении.
Решение задачи с помощью неявной разностной схемы
Рассмотрим снова нашу краевую задачу. Для аппроксимации уравнения используем шаблон II описанный в “Теоретические сведенья”. Уравнение аппроксимируется следующими уравнениями:
3.1 Аппроксимация дифференциального уравнения
Перепишем полученное выражение в виде удобном для применения метода прогонки:
3.2 Аппроксимация начального условия
3.3 Аппроксимация 1-ого граничного условия
Для аппроксимации граничного условия второго рода разложим в ряд Тейлора функцию в окрестности точки (0,t):
Подставим
в полученное выражение
из
уравнения теплопроводности и выразим
при
Производную
заменим левой
разностной производной:
3.4 Аппроксимация 2-го граничного условия
Для аппроксимации граничного условия третьего рода разложим в ряд Тейлора функцию в окрестности точки (1,t):
Подставим в полученное выражение из уравнения теплопроводности и выразим при
Производную заменим левой разностной производной:
Порядок аппроксимации данной разностной схемы
3.5 Метод прогонки:
Перепишем получившееся равенства в систему, удобную для применения метода прогонки:
(
*)
Прогоночные коэффициенты:
<<Теорема: Пусть коэффициенты системы (*) удовлетворяют следующим условиям:
Причем хотя бы одно из данных неравенств является строгим. Тогда для метода прогонки реализующего неявную разностную схему, имеют место неравенства
гарантирующие корректность и устойчивость метода прогонки.>>