Московский Государственный Институт Электронной Техники

(Технический Университет)

кафедра Высшей математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по

“Численным методам”

на тему

“Приближённое решение краевых задач математической физики методом сеток”.

Выполнил: Чумаков О.И. гр.МП-33 Руководитель: Лисовец Ю.П.

Москва, 2002 год.

Методические указания и постановка задачи.

1. Тема.

Приближенное решение краевых задач математической физики методом сеток.

2. Цель работы.

Изучить основные понятия теории конечно-разностных методов решения краевых задач математической физики и уметь применять их на практике. Численное решение задачи осуществляется на персональной ЭВМ в среде MATLAB. Преимущество использования этой cреды — богатый набор командных программ, реализующих большинство стандартных задач линейной алгебры и методов оптимизации, а также статистической обработки результатов. MATLAB обладает также хорошими графическими возможностями отображения результатов.

3. Порядок работы.

1. Познакомиться с основными понятиями метода сеток и методикой численного решения разностных уравнений, аппроксимирующих краевую задачу. Наиболее полно все основные понятия метода сеток изложены в [1,2]. Достаточной теоретической базой может служить методическое пособие [3].

2. Классифицировать уравнение и проверить корректность постановки данной в варианте краевой задачи и соответствие её физическому смыслу.

3. Разобраться с методикой построения явных и неявных разностных схем конечно-разностных систем для данного типа уравнения.

4. Разобраться с устойчивыми методами решения явной и неявной схем.

5. Реализовать программу, осуществляющую решение в среде MATLAB.

6. Получить численные результаты для своего варианта. Оформить их в виде таблиц, построить необходимые кривые и поверхности уровней, иллюстрирующие решение задачи.

7. Оформить курсовую работу в соответствии с общим требованиями к курсовым работам. В теоретической части должны быть кратко освещены следующие вопросы:

▪Классификация уравнения. Вскрыть физический смысл тех явлений, которые описываются данной математической постановкой задачи.

▪Корректная постановка: граничные и начальные условия и их соответствие физическому смыслу.

▪Понятия: сеточный шаблон, порядок аппроксимации разностных схем, сходимость, устойчивость решения.

▪Выбор шагов сетки и оценка погрешности метода.

Теоретические сведения.

§1 Классификация задач.

Линейное уравнение второго порядка в частных производных в общем случае имеет вид:

(1)

где a, b, c, d, e, g, f - известные функции от x и y. Если a, b, c, d, e, g – константы, то (1) называется уравнением с постоянными коэффициентами. Если f(x, y)=0, то уравнение является однородным.

Уравнение (1) называется эллиптическим, если D < 0; гиперболическим,

если D > 0; параболическим, если D = 0. D - дискриминант квадратичной формы :

При помощи невырожденного преобразования U(x, y)

уравнение (1) можно привести к одному из следующих канонических видов:

 эллиптический

 гиперболический

 параболический

Постановка задач.

При математическом описании физического процесса надо прежде всего поставить задачу, т. е. сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. Диффиренциальные уравнения имеют бессчисленное множество решений, поэтому для однозначной характеристики процесса необходимо к уравнению присоединить некоторые дополнительные условия. Они формулируются в виде так называемых краевых и начальных условий. Краевые и начальные условия зависят от типа уравнения. Задача, в которой поставлены краевые и начальные условия называется смешанной задачей.

Первая краевая задача для уравнения теплопроводности.

Рассмотрим процесс распределения тепла в однородном стержне длины . Пусть - значение температуры стержня в точке в момент времени .

Первая краевая задача ля уравнения теплопроводности состоит в поиске решения уравнения теплопроводности: при , , удовлетворяющего начальному условию: , , и граничным условиям: , ; где - известная плотность источников тепла, - коэффициент темпиратуропроводности.

Граничные условия могут быть различными в зависимости от заданного режима: - граничное условие первого рода, означающее, что температура на левом конце стержня изменяется со временем по заданному закону; - граничное условие второго рода, означающее, что поток тепла на правой границы стержня изменяется по заданному закону;

- граничное условие третьего рода, означающее, что на правом конце стержня по закону Ньютона происходит теплообмен с окружающей средой, температура известна.