§2 Сеточные функции и сеточные пространства.

Метод сеток состоит в сведении решения краевой задачи к решению алгебраических уравнений для так называемой сеточной функции. Для этого область G непрерывного изменения аргумента заменяется областью дискретного его изменения. Дифференциальный оператор заменяется некоторым разностным оператором. Краевые и начальные условия заменяются на соответствующие разностные аналоги. Выберем в области, где ищется решение дифференциального уравнения, некоторое конечное множество точек, в которых и будем искать решение уравнения. Ясно, что чем больше мы возьмем таких точек, тем точнее решим уравнение. Множество таких точек называется сеткой, отдельные точки – узлы сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

На пример, зададим отрезок [0,1] и построим сетку с равномерным шагом, разбив отрезок на N равных частей точками . Расстояние между соседними узлами называется шагом сетки, точки деления - узлами сетки. Множество всех узлов и составляет сетку. В это множество можно включить граничные точки и . Обозначим . На данном отрезке вместо функции непрерывного аргумента будем рассматривать функцию дискретного аргумента . Значения этой функции вычисляются в узлах сетки , а сама функция зависит от шага сетки, как от параметра.

Замена области непрерывного изменения аргумента областью его дискретного изменения (сеткой) приводит к необходимости перенесения свойств функциональных пространств на так называемые сеточные пространства.

<<Определение: линейное пространство H называется нормированным, если для каждого элемента определенно вещественное число , называемое нормой, которое удовлетворяет следующим условиям:>>

1)

2) неравенство треугольника;

3) , - комплексное число;

Функции , являющиеся решением соответствующих краевых задач, принадлежат некоторому функциональному пространству . Множество сеточных функций образуют пространство . Таким образом, используя меток конечных разностей, заменяем пространство пространством сеточных функций. Поскольку число узлов в сетке конечно, пространство - конечномерное. В линейном пространстве вводится норма , являющаяся сеточным аналогом нормы в исходном пространстве

§3 Разностная аппроксимация простейших

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ.

Пусть дан линейный дифференциальный оператор , действующий на функцию . Заменяя входящие в производные разностными отношениями, получим вместо разностное выражение , являющееся линейными комбинациями значений сеточной функции v_h на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Такая приближенная замена на называется аппроксимацией дифференциального оператора разностным оператором ( или разностной аппроксимацией оператора ).

Изучение разностных аппроксимаций оператора вначале производят локально, т.е. в любой фиксированной точке x области _h. Прежде чем приступать к разностной аппроксимации оператора необходимо выбрать шаблон, т.е. указать множество соседних с узлом х_i узлов, в которых значения сеточной функции могут быть использованы для аппроксимации оператора .

Рассмотрим оператор, соответствующий первой производной . На двухточечном шаблоне x, x+h и x-h в зависимости от шаблона получим две конечно-разностные аппроксимации:

- правая разностная аппроксимация; (1)

- левая разностная аппроксимация; (2)

Кроме того, в качестве разностной аппроксимации производной можно взять линейную комбинацию выражений (1) и (2) , где - весовой коэффициент.

При получаем центральную разностную производную

(3)

Таким образом оказывается, что можно написать бесчисленное множество разностных выражений, аппроксимирующих . Возникает вопрос, какую ошибку мы допускаем, используя ту или иную разностную аппроксимацию, и как ведет себя разность при h->0. Величина называется погрешностью разностной аппроксимации в точке .

В предположении, что имеет нужное количество производных, разложим ее по формуле Тейлора:

(4)

Подставляя (4) в (1) – (3), получаем

- погрешность для правой разностной аппроксимации;

- погрешность для левой разностной аппроксимации;

- погрешность для центральной разностной аппроксимации;

Остуда следует, что аппроксимация производной на трехточечном шаблоне имеет на порядок меньшую погрешность, чем на двухточечном.

Говорят, что аппроксимирует дифференциальный оператор с порядком m>0 в точке , если

Рассмотрим оператор, соответствующий второй производной: на трехточечном шаблоне . Аппроксимация имеет вид:

(5)

Так как , то (5) можно записать в виде:

Подставляя Тейлоровское разложение (4) в (5) получим равенство:

,

из которого следует, что погрешность разностной аппроксимации второй производной равна

,

если четвертая производная ограниченна при .

Рассмотрим оператор дифференцирования в уравнении теплопроводности:

,

Пусть - фиксированная точка плоскости ; - шаги двумерной сетки. Что бы написать разностную аппроксимацию для оператора необходимо определить шаблон. Например, один из следующих видов:

шаблон I шаблон II шаблон III

На шаблоне I первую производную по t аппроксимируем правой разностной производной аналогично (1), а вторую производную по аппроксимируем центральной разностью по формуле (5). Получаем аппроксимацию вида:

;

(6)

Для шаблона II аппроксимация оператора имеет вид:

;

(7)

Взяв линейную комбинацию (6) и (7), получим однопараметрическое семейство разностных операторов, заданных на шаблоне III:

(8)

Вычислим порядок аппроксимации приведенных операторов:

На шаблоне I:

На шаблоне II: (аналогично шаблону I )

На шаблоне III:

Положим в (8) . Для вычисления погрешности аппроксимации оператора используем следующие Тейлоровские разложения:

.

Исключая из этих равенств , получим

Тейлоровское разложение для вторых конечных разностей и могут быть записаны в виде:

Учитывая (8) и разложения для , получим:

Погрешность