§4 Метод сеток.

Пусть ω_h – сетка в некоторой области G, H_h – линейное пространство сеточных функций, заданных на ω_h ; H₀ –линейное пространство гладких функций (x) ; - норма в H₀ ; - норма в H_h. Предполагается, что:

1. существует оператор проектирования P_h такой, что

P_h = _h H_h для любого H₀

2. нормы и согласованы, т. е.

||P_h || =

Рассмотрим некоторый дифференциальный оператор , заданный в H₀, и оператор , преобразующий сеточную функцию _h в сеточную функцию _h, заданную на ω_h.

<<Определение: погрешностью аппроксимации оператора разностным оператором называется сеточная функция , в сеточном пространстве , где любая функция из .>>

Если при , то говорят, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный оператор . Если при этом:

,

то разностный оператор аппроксимирует дифференциальный оператор с порядком .

Если ищется решение уравнение теплопроводности , то переменная выделяется. Функция как функция аргумента является элементом пространства . Пусть - сетка на отрезке ; - сетка на отрезке . Сеточная функция определенна на сетке . Как функция аргумента она является элементом пространства с нормой . Для оценки на обычно используется норма:

При формулировке соответствующей разностной задачи необходимо аппроксимировать не только дифференциальное уравнение, но и краевые и начальные условия.

<<Определение: Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение и дополнительные условия, называются разностной схемой или разностной задачей>>

Погрешность аппроксимации разностной схемы складывается из погрешности аппроксимации дифференциального оператора разностным оператором и погрешности аппроксимации краевых и начальных условий.

Если в постановке задачи есть краевые условия второго и третьего рода, то их аппроксимация вносит свою погрешность в погрешность аппроксимации разностной схемы.

<<Определение: Разностная схема сходится если, если норма разности при .>>

Для исходной задачи должно выполняться требование корректности, то есть существование единственного и устойчивого решения. Последнее означает, что малым возмущениям функций и должно соответствовать малое изменение решения. Из корректности исходной задачи не следует корректность разностной задачи.

<<Определение: Разностная задача корректна, если для всех достаточно малых и при любых существует единственное решение задачи, для которого выполняется оценка

с постоянной , не зависящей от >>

Решение задачи.

Задание: получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической физики методом сеток.

(1)

(2)

Классификация задачи.

Данное уравнение является уравнением параболического типа и физически отражает процесс распространения тепла в однородном стержне длинны . Искомое решение - значение температуры стержня в точке в момент времени .

Данная краевая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1), а также заданным начальным и граничным условиям (2).

Граничное условие второго рода говорит о том, что на левом конце поток тепла изменяется по заданному закону. Граничное условие третьего рода говорит о том, что на левом конце стержня по закону Ньютона происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой = 0.

Начальное условия и задает распределение температуры на всем стержне в начальный момент времени.

Функция имеет смысл плотности источников тепла.