§4 Метод сеток.

Пусть ω_h – сетка в некоторой области G, H_h – линейное пространство сеточных функций, заданных на ω_h ; H₀ –линейное пространство гладких функций (x) ; - норма в H₀ ; - норма в H_h. Предполагается, что:

1. существует оператор проектирования P_h такой, что

P_h=_hH_h для любого H₀

2. нормы и согласованы, т. е.

||P_h || =

Рассмотрим некоторый дифференциальный оператор , заданный вH₀, и оператор , преобразующий сеточную функцию_h в сеточную функцию _h, заданную на ω_h.

<<Определение: погрешностью аппроксимации оператора разностным операторомназывается сеточная функция, в сеточном пространстве, гделюбая функция из.>>

Если при, то говорят, что разностный оператораппроксимирует дифференциальный оператор. Если при этом:

,

то разностный оператор аппроксимирует дифференциальный оператор с порядком.

Если ищется решение уравнение теплопроводности, то переменнаявыделяется. Функциякак функция аргументаявляется элементом пространства. Пусть- сетка на отрезке; - сетка на отрезке . Сеточная функцияопределенна на сетке. Как функция аргументаона является элементом пространствас нормой. Для оценкинаобычно используется норма:

При формулировке соответствующей разностной задачи необходимо аппроксимировать не только дифференциальное уравнение, но и краевые и начальные условия.

<<Определение: Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение и дополнительные условия, называются разностной схемой или разностной задачей>>

Погрешность аппроксимации разностной схемы складывается из погрешности аппроксимации дифференциального оператора разностным оператором и погрешности аппроксимации краевых и начальных условий.

Если в постановке задачи есть краевые условия второго и третьего рода, то их аппроксимация вносит свою погрешность в погрешность аппроксимации разностной схемы.

<<Определение: Разностная схема сходится если, если норма разности при.>>

Для исходной задачи должно выполняться требование корректности, то есть существование единственного и устойчивого решения. Последнее означает, что малым возмущениям функций идолжно соответствовать малое изменение решения. Из корректности исходной задачи не следует корректность разностной задачи.

<<Определение: Разностная задача корректна, если для всех достаточно малых и при любыхсуществует единственное решение задачи, для которого выполняется оценка

с постоянной , не зависящей от>>

Решение задачи.

Задание: получить приблизительное решение данной краевой задачи уравнения в частных производных математической физики методом сеток.

(1)

(2)

Классификация задачи.

Данное уравнение является уравнением параболического типа и физически отражает процесс распространения тепла в однородном стержне длинны . Искомое решение- значение температуры стержня в точкев момент времени.

Данная краевая задача состоит в нахождении функции, удовлетворяющей уравнению (1), а также заданным начальным и граничным условиям (2).

Граничное условие второго рода говорит о том, что на левом конце поток тепла изменяется по заданному закону. Граничное условие третьего родаговорит о том, что на левом конце стержня по закону Ньютона происходит теплообмен с окружающей средой, температура которой = 0.

Начальное условия изадает распределение температуры на всем стержне в начальный момент времени.

Функция имеет смысл плотности источников тепла.