§ 3. Зависимость сферических координат спутника от времени

de

и -=О, получим

ds

du

dM

dM

-

= -- +2ecosM--.

ds

ds

ds

Если учесть, что

2:n:

М= -(Тк -"t),

т

dM

2:n:

Тsс::::.т,

то получим

-

du

= -

2:n:

,

2е cos

М

).

(111.23)

ds

Т

( 1 --

'

Из сферического

треугольника

QSS' (см. рис. 19) следует

sin с5 = sin и sin i =

ctg Qtg L\Л.,

(III.24)

cos i

=

cbs с5 sin Q = tg ы..

ctg и.

(III.25)

Из формулы (III.24) находим зависимость от времени (s)

геоцентрического склонения

d{)

cos usin i

du

(III.26)

ds

cos б

ds

Зависимость от времени прямого восхождения определяем,

используя формулу (II.25), где L\Л.=L\a,

da.

cos2 .1.1. cos i

du

(III.27)

ds

cos2 u

ds ·

Так как в L\QSS'

cos и =

cos L\Л. cos с5,

(III.28)

то вместо (II.27) можно пользоваться формулой

da.

cos i

du

(III.29)

ds = cos2 б

ds ·

Принимая во внимание

(III.ЗЗ) и (111.34), получаем

do

cos i

du

(Пl.35)

ds

tg Qcos о

- ,

ds

(III.Зб)

Теперь формула (III.32)

может быть преобразована

к виду

dz

.

А -

(

.

sin2 Q

cos i

\

-

du

=

-

= cos <р Slll

cos <р Slll А -- . - + cos q

tg Qcos о

)

ds

ds

cos 1

.

(

.

~ sin2 Q

cos Qcos i)

-

du

=

= cos<psшA-

sшqcosu--.- + cosq .

ds

cos 1

sш Q cos о

= cos <рsin А- (sin q sin Q + cos q cos Q) _!!!!:__ ,

ds

dz

=

.

А - cos (Q-

du

(Ш.37)

-

cos <р Slll

q) - .

ds

ds

Первый член в nравой части формулы (III.37) равен ско­

рости

движения

звезды

по

зенитному

расстоянию,

второй -

sin z cos AdA -f- cos z sin Adz =

cos t cos 6ds -

cos t cos 6da-

- sin t sin 6d6,

.

А dA

= COS

t

~ (

da )

. t . ~ do

SIПZCOS

-

COSu

1--

-Sill

Slllu --

~

~

~

. А dz

-coszsш

- ,

( 1 _

ds

dA

cos t cos о

da

) _

sin t sin б

dб

_

ds

sin z cos А

ds

sin z cos А

ds

coszsinA

dz

(III.38)

sinzcosA

ds

Подставляя в

(III.38)

da

do

,

dz

и делая

значения ds,

ds

ds

dA =

costcosб

( 1 -

sin2 Q du) _

siпtsinбcosi

du _

ds

sin z cos А

cos i ds

sin z cos А tg Qcos б

ds

___ dz'

=

(kcosz-1)kcosz+k2 sin2z~

k2 -kcosz

dz

(III.40)

cos2 z' ds

(k cos z - 1)2

ds

(l-kcosz) 2

ds

·

Подставляя

теперь значение

dz

в соответствии

с

формулой

ds

{III.37), после преобразований, имеем

dz'

(cos z - k) cos <р sin А

+ (k- cos z) sin (Q - q)

du

(III.41)

ds

1

1

ds

k-2cosz+-,;

k-2cosz+ k

secD = -'- = k.

(Пl.43)

.:путник будет над горизонтом

для наблюдателя, находящегося

в тr:Jчке с зенитом S.

треугольник SKx. принимая во·

Рассмотрим сферический

Uii!J\l<JHИe, ЧТО

cos ('х = sin i

cos L~Лк ,

(Ш.44}

cos rrx с= cos i

cosec ('х

lf

L1cp

с= q>1( - crx

}

(III.45)·

Ы,к =~ 'Ак - Ag

'

где

rрк, i.J(- географические координаты точки

К. Запишем.

;,.1я

упомянутого

сферического треугольника формулу котан­

генсов и формулу косинуса стороны

- cos L1cp cos А ~.~ -

ctg D sin L1rp + ctg L;\ sin А l

(III.46}

cos D =

со~ш cos L1u- sin L1cp sin L1u cos ('х

J ·

Обозначим

tg :=. ~ cos L1cp tg rх

l (III.4 ?)

tg чг ""' tg L1rp cos ( х

J

cos (L1u + ЧГ)

(III.48)

,.-.

cosDcosЧГsecL1rp.

(III.49)

Формула

{III.48)

позво-

.1яет вычислить

азимут в

Рис. 22. Условия восхода и захода

l\iОМентвосхода, отсчитш:ный

от точки севера, а

{1 II.49)

спутника

велwчину L1u,

которая

необ-

sin (А- 2) = tg ~q> ctgD sin S }

(III.SO)·

cos (~и- ЧГ) =

cos D cos 'l'sec ~q>

•

Для сJiучая, когда точка

К лежит южнее

орбиты, будут

sin (А- 3) == -

tg Llcp ctg D sin 3

}

cos (Llu- '1') =

cos D cos 'Р' sec Llfp

(III.51)

'

sin (А-З)=- tg Llcp ctgDsin З }

cos (Llu + '1')

= cos D cos ЧГ sec Llfp

(III.52)

·

Аналогичный вид будут

иметь формулы

для случая, когл:а

вии с рис. 22 имеем

Llи =

их- u8 .

(III.53)

Из параллактического треугольника QxK' найдем

cosux ~= ctgi ctgQx.

(III.54)

Из (III.53) с учетом (III.54) следует, что

u5 = arc cos (ctg i ctg Qx)- Llu.

(ПI.55)

Можно воспользоваться другой форi\Iулой для Их

ctg их =

cos i ctg il'Aк ,

(III.56)

ТО!'Д.а

и5 = arc ctg (cos i ctg Ll'Aк) - Llu.

(III.57)

По.1учив по (III.55) пли

по (III.57) u8 , далее

находим ис­

тинную аномалию

v =

us - (1) .

(III. 58)

l = .1uвосх + ЧГ = .1UзахЧГ.

(Ili.61)

На основании приведеиных выше фор;-.tул

cos l = cos D cos ЧГ sec .1(р.

(III.62)

Время нахождения ИСЗ

в пределах прямой вндимости

(Ш.бЗ)

С учетоы (III.61), (III.62) получим

.1Т21

= - 7-·-

[2! + 4е(cos и

cos l cos ЧГ- sin и sin l sin ЧГ),

(Ili.64)

1440

х

х

1·.re Их

II<!ХОДЯТ при ПОМОЩИ

(Ill.54) ИЛИ (!1!.56).

x>zc:;.

(III.65)

4 Зак. lб51

97

если

x<zo,

(III.6&)

то спутник находится в тени Земли; причем

x=zo

(III.67)

Рис. · 23. К

учету пребывания

Рис. 24. К выводу уравне­

спутника

в тени Земли

ния

тени

В соответствии с рис. 23 угол х может быть определен с

помощью формулы

.. 1

RE

(III.68)

cosx = - V

1----;z.

cos z0 = sin 6 sin 60 + cos 6 cos 60 cos (ао- а) .

(III.69)

Для момента пересечения спутником границы тени Земли в

соответствии с (III.67) можно записать

sin6sin60 + cos6cos60 cos (ао-а)=-v·I- ~2Е •

(III.70}

Уравнение (111.70) называют уравнением тени. Его

можно

мер, взятые из «Астрономического ежегодника»,

а вместо

координат спутника а и 6 выражения вида

а =Q+arctg(tgucosi) }·

(III.?l)

6 = arc sin (sin и sin i)