Обработка изображений / Лекции по обработке изображений Ч 2

преобразования вида (4.49) можно выполнять более эффективно, если вместо непосредственных вычислений воспользоваться косвенными методами с применением двумерных унитарных преобразований .

Фильтрацию, осуществляемую согласно преобразованию (4.16), будем называть обобщенной. Рассмотренный метод вычисления будет эффективнее, чем непосредственное вычисление по формуле (4.14), если существуют быстрые алгоритмы соответствующего унитарного преобразования, а ядро H u1 ,u2 ; 1 , 2 содержит большое количество нулевых элементов.

Практически все рассмотренные выше унитарные преобразования упорядочены по обобщенным пространственным частотам, что позволяет

использованием такого фильтра может быть записана следующим образом:

унитарного преобразования. Такую фильтрацию будем называть обобщенной пространственно-частотной фильтрацией.

Разработанные в диссертации программные средства для обобщенной фильтрации микроскопических изображений позволяют осуществлять обобщенную фильтрацию на основе преобразования Фурье, косинусного и синусного преобразований, преобразований Хартли, Адамара, и Q – преобразования. Методами пространственно-частотной фильтрации реализованы: процедуры линейной фильтрации (НЧ, ВЧ, полосовая, локальная, глобальная и др.); устранение смаза, размытия изображений; согласованная

61

фильтрация; нелинейная фильтрация (вычисление кепстра, извлечение корня из спектральных коэффициентов и др.).

Для осуществления низкочастотной (НЧ), высокочастотной (ВЧ),

удовлетворяющих условию (4.18), результаты фильтрации (4.19) на основе преобразования Фурье и Хартли совпадают. Совпадают результаты фильтрации

Для этих же фильтров рассмотрим отличия, возникающие при использовании косинусного преобразования. При этом будем считать, что фильтры для косинусного преобразования трансформированы с учетом расположения начала координат преобразования (левый верхний угол). Вычислительные эксперименты показывают, что существенные отличия в результатах циклической фильтрации на основе преобразования Фурье и косинусного преобразования наблюдаются, как и следовало ожидать, в определенной зоне на краях отфильтрованных изображений. Эти отличия пропорциональны величине скачка яркости, возникающей на границе изображения при его периодическом продолжении, а кривая распределения яркости в этой зоне соответствует импульсной характеристике фильтра. При использовании для фильтрации косинусного преобразования на границах изображения изменения яркости такие же, как и вдали от границ, поэтому на границах отфильтрованного изображения практически отсутствуют квазипериодические структуры, воспринимаемые зрительно, как артефакты. Это позволяет в ряде случаев существенно улучшить психофизическое восприятие отфильтрованных изображений.

На рис. 4.2 приведены результаты моделирования устранения размытия изображения аморфной пленки на основе преобразования Фурье и на основе косинусного преобразования. Видно, что существенно лучший результат

62

устранения размытия получается при использовании косинусного преобразования. Замена обычной свертки циклической в модели формирования размытого изображения приводит к тому, что при синтезе восстанавливающего фильтра не учитывается факт влияния объектов, расположенных вне поля зрения, на значения яркости на краях размытого изображения. При восстановлении таким фильтром реально искаженных изображений возникают краевые эффекты, которые при использовании косинусного преобразования компенсируются симметричным продолжением изображения за его границы.

Важной в обработке микроскопических изображений является задача определения наличия и координат некоторого фрагмента g j1 , j2 ; M размера

M M на изображении f j1 , j2 ; N размера N N . Для ее решения может

применяться согласованная фильтрация, причем такая фильтрация может осуществляться как на основе преобразования Фурье, так и на основе преобразования Хартли и косинусного преобразования. Однако для изображений с «плавными» границами между элементами структуры корреляционный максимум слабо локализован, а его значение может практически не отличаться от значений других максимумов корреляционного поля. В особенности это касается согласованной фильтрации на основе косинусного преобразования. В этом случае корреляционное поле изображения содержит мощные длинноволновые компоненты (результат симметричного продолжения изображения), величина которых зачастую превышает значение корреляционного максимума.

Рис. 4.2. Устранение размытия изображения аморфной пленки:

а – фрагмент исходного изображения; б – фрагмент размытого изображения; в – спектр Фурье изображения б; г – результат устранения размытия фрагмента на основе преобразования Фурье; д – косинус-спектр изображения б; е – результат устранения размытия фрагмента на основе косинусного преобразования

63

Для повышения эффективности согласованной фильтрации при определении координат искомого фрагмента на таких изображениях предлагается проводить фильтрацию длинноволновых компонент корреляционного поля путем извлечения корня из спектральных компонент. Тогда корреляционные поля KF j1 , j2 , KH j1 , j2 , KC j1 , j2 соответственно

для согласованной фильтрации на основе преобразования Фурье, Хартли и косинусного преобразования могут быть записаны в виде:

преобразование Хартли и косинусное преобразование расширенного фрагмента.

Рис. 4.3. Корреляционные поля, полученные с использованием преобразования Хартли и косинусного преобразования:

корреляционные поля K F j1 , j2 , K H j1 , j2 , KC j1 , j2 при 2 имеют ярко выраженный максимум, координаты которого совпадают с координатами

фрагмента. Этот результат иллюстрируется на рис. 4.3, где представлены корреляционные поля K H j1 , j2 , KC j1 , j2 низкочастотного изображения и

одного из его расширенных фрагментов. Корреляционное поле KC j1 , j2

для поля KC j1 , j2 отношение главного максимума к боковым максимумам,

как правило, меньше, чем для полей K F j1 , j2 и K H j1 , j2 .

Таким образом, для осуществления низкочастотной (НЧ), высокочастотной (ВЧ), полосовой фильтрации, устранения размытия изображений согласованной фильтрации микроскопических изображений вместо преобразования Фурье можно использовать преобразование Хартли или косинусное преобразование.

4.3.Моделирование изображений

сзаданными спектральными характеристиками

Запишем ДПФ цифрового изображения f j1 , j2 в виде

TF [ f j1 , j2 ] 2 I F u1 ,u2 .

На рис 4.4, a, б приведены смоделированные на основе преобразования Хартли изображения и их периодограммы I F u1 , u2 , которые совпадают с

периодограммами изображений, показанных соответственно на рис. 4.1, a, в. Видно, что структуры исходных и смоделированных полей практически идентичны, что позволяет говорить о вполне адекватном описании данных структур в терминах корреляционно-спектральных моделей. Приведенный выше алгоритм (4.28) может использоваться при генерировании случайных полей с заданной спектральной плотностью в слоевом методе моделирования микроскопических изображений неупорядоченных сред и материалов.

Моделирование микроскопических изображений с заданной спектральной плотностью также используется для оценивания используемых

65

при описании структуры тех или иных корреляционно-спектральных моделей.

совпадают. Это означает, что и структуры исходных и смоделированных полей в статистическом смысле идентичны, что позволяет говорить о вполне адекватном описании данных структур в терминах корреляционноспектральных моделей. Но все же, в плане психофизического восприятия этих изображений специалистом в области исследований микроструктуры аморфных сплавов, возможно речь будет идти о разной микроструктуре. Это связано с тем, что при таком моделировании теряется информация о фазе фурье-образа.

Рис. 4.4. Моделирование микроскопических изображений с использованием преобразования Хартли

Рис. 4.5. Микроскопическое изображение аморфной пленки (а) и смоделированное изображение (б)

66

Соответствующая данной периодограмме корреляционная функция будет

гауссову гистограмму, и его корреляционная функция является биэкспоненциальной. Если корреляционная функция двумерных гауссовых полей биэкспоненциальна, то строки и столбцы поля образуют одномерные марковские последовательности, а данные, расположенные на вертикальных и горизонтальных лучах, условно независимы при известном значении поля в точке пересечения лучей. Для таких изображений можно построить экономичные линейные и нелинейные алгоритмы первичной обработки.

Моделирование изображений с заданной ИЧХ также можно осуществить, пропуская двумерную реализацию белого шума через линейный фильтр с действительной частотной характеристикой H (u) ,

модуль которой H (u) V (u) . При этом, однако, смоделированные

изображения при заданной ИЧХ очень похожи друг на друга и зачастую не имеют никакого сходства (в плане психофизического восприятия) с изображением, для которого эта ИЧХ была вычислена. Это говорит о том, что ИЧХ не является для какого-то класса изображений строго заданной функцией, и ее вид всегда может быть модифицирован, но так, чтобы вновь полученное изображение удовлетворяло исследователя.

Рис. 4.6. Микроскопическое изображение (а) и модифицированное изображение (б) с биэкспоненциальной корреляционной функцией

67

ортогонального преобразования в плоскости обобщенных частот. Аналогичным образом предлагается моделировать изображения с заданными ИПХ.

4.4. Моделирование изображений на основе анализа спектральных характеристик вейвлет-преобразований

Развитие новых методов анализа изображений, основанных на использовании вейвлет – преобразования, определяется высоким потенциалом его математического аппарата и эффективностью алгоритмов обработки изображений в системах различного назначения. В ряде работ показано, что главное отличие вейвлет-преобразования от преобразования Фурье заключается в более информативном представлении пространственно-частотных свойств изображений. За способность вейвлетанализа рассматривать изображения в различных пространственных масштабах его часто называют математическим микроскопом.

4.4.1. Моделирование и анализ изображений на основе непрерывного вейвлет-преобразования. Здесь при рассмотрении непрерывного вейвлет – преобразования будут использоваться вейвлеты Гаусса и Морле (см. рис. 4.7). Используя аналитические выражения для Фурье-образов вейвлетов Гаусса и вейвлетов Морле, построим одномерные фильтры:

68

где М – число масштабов. При изменении m от 0 до M-1 масштаб a будет

фильтры (4.31) и (4.32) соответственно будут иметь вид:

69