2. Понятие об игре с «природой»

Неопределенность в ситуации принятия решения далеко не всегда связана с сознательным противодействием партнера. Часто бывает, что мы не распологаем точной информацией о поведение партнера и это вызывает неопределенность в игре с ним. В таких случаях данная матричная игра будет называтся игрой с природой .

В этих условиях игроку (лицу принимающему решение) казалось бы легче найти решение, но даже в условиях отсутствия активного противодействия, его выбор должен быть обоснован.

В матричной игре с «природой» ставится задача поиска оптимальной стратегии в условиях риска. Введем четкое математическое определение риска в матричной игре с «природой».

Риском r_ij игрока при выборе стратегии А_i в условиях H_j называется разность

r_ij = b_j - a_i ,

где b_j - максимальный элемент в j - м столбце.

Другими словами риск при выборе стратегии А_i это проигрыш по сравнению с тем случаем, когда игрок знал бы условие при котором он может получить выигрыш b_j .

Пример:

Найдем матрицу риска R для следующей матрицы игры А.

A= ; R=

Рассмотрим наиболее распространенные критерии выбора стратегии при условии неопределенности в матричной игре с «природой».

1. Критерий максимального математического ожидания выигрыша.

Предположим, что неопределенность состояний природы (доброкачест-венная ), то есть вероятности состояний P_j известны, вычислим математическое ожидание выигрыша первого игрока, то есть выбрать стратегию удовлетворяющую условию

a_i = P_j a_ij  max.

Следует отметить, что точно та же стратегия соответствует минимальному математическому ожиданию риска

r_i = P_j r_ij  min.

Пример:

Пусть распределение вероятности состояний природы в последней задаче равны:

P(H₁)=2/5; P(H₂)=1/5; P(H₃)=1/5; P(H₄)=1/5;

Тогда

a₁ = 13/5; a₂ = 69/5; a₃ = 13;  a = max (13/5, 69/5, 13) = 69/5 = 13,8.

Следовательно оптимальной по этому критерию является стратегия А₃.

Далее расмотрим критерий минимального математического ожидания риска

r₁ = 78/5; r₂ = 22/5; r₃ = 26/5;  r = min (78/5, 22/5, 26/5) = 22/5 = 4,4.

2. Критерий Вальда (максиминный).

Критерий Вальда совпадает с крайне осторожной максиминной стратегией

.

3. Критерий минимального риска Севиджа.

Критерий рекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной сетуации

Игрок, применяющий критерий Севиджа, также придерживается позиции пессимизма, ориентирующийся на минимально возможный риск

4. Критерий Гурвица.

Критерий Гурвица соответствует всем промежуточным стратегиям между пессимизмом и крайним оптимизмом. Выигрыш рассчитывается по формуле:

, 0    1,

где  - коэффициент пессимизма ; чем больше игрок хочет подстраховаться тем большее значение  он выбирает. При  = 1 критерий Гурвица соответствует критерию крайнего пессимизма, критерию Вальда.