Тема 5. Лекция 6.
нелинейное программирование (НП)
-
Постановка задачи НП
-
Эколого-экономическая интерпретация задачи НП
-
Геометрическая интерпретация задачи НП
-
Метод множителей Лагранжа (ММЛ)
-
Обзор рассмотренных методов.
1. Постановка задачи нп
В общем виде задача НП состоит в определении max/min значения
f (x1, x2, … xn) (1)
при условии, что ее переменные удовлетворяют соотношениям
gi(x1, x2, …, xn) bi (i = 1, k)
gi(x1, x2, …, xn) = bi (i = k + 1, m),
где f и gi некоторые известные функции n переменных, а bi – заданные числа.
Имеется в виду, что в результате решения задачи будет определена точка Х* = (х1*, х2*, … хn*), координаты которой удовлетворяют соотношению (2), причем для всякой другой точки, отвечающей условиям (2), выполняется
F* (x*1, x*2, … x*n) f (x1, x2, … xn)
Если f и gi – линейные функции, то это будет задача линейного программирования.
Соотношения (2), образующие систему ограничений, включают в себя и условия неотрицательности переменных, если таковые имеются. Последние могут быть заданы и отдельно.
В евклидовом пространстве En система ограничений (2) определяет ОДР. В отличие от задачи ЛП она не всегда является выпуклой.
Если определена ОДР, то нахождение решения задачи НП сводится к определению такой точки этой области, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня: f (x1, x2, … xn) = h, причем эта точка может находиться как на границе ОДР, так и внутри нее.
2. Эколого-экономическая интерпретация задач нп
На проведение мероприятий по повышению экологичности производства предприятие располагает 220 тыс. руб. Эти средства могут быть распределены между тремя подразделениями. Каждый вариант распределения снижает в определенной степени ущерб от загрязнения окружающей среды и дает определенный эффект, равный предотвращенному ущербу. Требуется определить такой вариант распределения капиталовложений, при котором эффект, получаемый предприятием будет максимальным.
Подраз-деления |
Капитало-вложения, тыс.р. |
Эффект, тыс. руб. |
Капитало-вложения, тыс.р. |
Эффект, тыс. руб. |
Капитало-вложения, тыс.р. |
Эффект, тыс. руб. |
I |
От 10 до 30 |
7,3 |
30…60 |
8,0 |
60 |
10 |
II |
От 10 до 40 |
6,2 |
40…70 |
8,6 |
70 |
9,1 |
III |
От 10 до 50 |
9,1 |
50…60 |
9,8 |
60 |
9,5 |
Математическая модель
Обозначим капиталовложения, распределенные между тремя подразделениями х1, х2, х3.
Эффект по каждому подразделению: С1(Х1), С2(Х2), С3(Х3).
F = C1(X1) X1 + C2(X2)X2 + C3(X3)X3 = f (X1, X2, X3) max
X1 + X2 + X3 = 220
X1, X2, X3 0.
Известно, что можно регулировать степень чистоты ОС путем нормирования, т.е. введения допустимого уровня загрязнителя в среде. Такое регулирование можно осуществлять путем выдачи производителю лицензий, условием для получения которых являлось бы соблюдение установленных норм качества ОС. Естественно, что каждое предприятие – источник загрязнения несет определенные затраты на устранение загрязнения.
Полные затраты (С) на устранение загрязнения складываются из суммы затрат Сi для каждого загрязняющего среду:
,
где Qi – масса устраненного загрязняющего вещества i-м предприятиям.
Для обеспечения установленного уровня качества ОС полная масса загрязняющего вещества Q, подлежащего устранению, определяется как:
Поскольку затраты предприятий на устранение загрязнений ложатся также и на потребителей продукции (удорожание ее), то обществу в целом выгодна минимизация полных затрат на обеспечение качества ОС.
Таким образом целевая функция
.
Ограничения: .
В общем случае это задачи с размерностью 2. Их решение сводится к минимизации так называемой функции Лагранжа .