06-09-2014_00-25-24 (1) / Лекция 7

Лекция №7

Конвективные течения в приближении пограничного слоя.

Оценка толщины и формы плоского пограничного слоя.

– основное уравнение гидродинамики для стационарного пограничного слоя. В пограничном слое, т.е. нельзя отбрасывать ни конвективный, ни вязкий член уравнения Навье – Стокса. Для простоты предположим течение безнапорным.

+ = =

+

, т.к.

= ;

= = - точное решение

Поскольку сопротивление переносу субстанции сосредоточено в пограничном слое, то ясно, зачем для интенсификации процессов переноса надо увеличивать.

Длина участка гидродинамической стабилизации.

Она равна расстоянию от входа потока, на котором смыкаются его пограничные гидродинамические слои.

=, Re

Турбулентное течение. Полуэмпирическая теория турбулентности

Согласно теории устойчивости, устойчивой является система, амплитуда бесконечно малого возмущения, которой не растет.

Ламинарное течение является гидростатически устойчивым.

Неустойчивость приводит к пульсации величин параметров потока (скорости и давления). Обычно, изменение скорости и давления описывается распределением Гаусса, в котором наиболее вероятностным значением (математическим ожиданием)являются средние значения скорости и давления.

Таким образом, мгновенные значения скорости и давления носят вероятностный характер. Предложил выражать мгновенные значения параметров течения в виде линейной комбинации их среднего значения и пульсационной составляющей:

+ ^’, - среднее значение параметра; – пульсационная составляющая значения параметра

P=

Правила осреднения, обозначаемого чертой над символом:

= ,

= 0

0

Вывод основного уравнения гидродинамики для турбулентного режима

(уравнения Рейнольдса)

+ + = 0 – уравнение неразрывности

+ + = 0

+ + = 0 – уравнение неразрывности турбулентного течения

= - +

Уравнение Навье - Стокса

= +

+

Приближение Буссинеска:

- = = _г - = = _г и т.д.

Тогда:

= (_т) – Уравнение Рейнольдса в приближении Буссинеска.

= - =

Параметры турбулентности:

L – масштаб турбулентности – расстояние в потоке, на котором средняя скорость изменяется на величину пульсационной составляющей.

L = , константа Кармана для крупномасштабных пульсаций

Изменение средней скорости на масштабе турбулентности

= 1/2= L=,

Выражение получается взаимной подстановкой друг в друга приведенных ниже зависимостей. , так как разложение в ряд и ограничение его первым членом дает

L

= - L, так как разложение в ряд и ограничение его первым членом дает

L,

Re_L = Re_x = , - крупномасштабная пульсация, x мелкомасштабная пульсация и L, таким образом диссипирует энергию мелкомасштабной пульсаци, так как малый критерий Re- это большая сила трения, большая вязкость, а, следовательно, большая величина диссипированной энергии.

На основе теории размерности можно получить выражение для турбулентной вязкости:

; L ;; – параметры потока, характеризующие течение:

= = L² = ²y²

_т = = ²y²

= _г²y²

= - ²y²

После определения значений _т и можно решать конкретные задачи с использованием уравнения Рейнольдса.

Определим профиль скоростей в плоском квазистационарном турбулентном потоке.

Определить профиль скоростей в плоском, квазистационарном, турбулентном потоке при безнапорном течении

а) профиль скоростей, полученный решением уравнения Рейнольдса.

б)профиль скоростей в приближении пограничного слоя. Из уравнения Рейнольдса при оговоренных условиях имеем:

= – слабо зависит от y. = ²- пропорционально y². Решаем методом асимптотического анализа со сращиванием полученных решений:

y; ; =

- линейная зависимость.

y; ²

Интегрируем и получаем:

lny+С – логарифмический профиль скоростей в потоке вдали от стенки

= – назовем, согласно размерности динамической скоростью^*

=

= ^*=^* - пульсационная составляющая и динамическая скорость – это одно и то же.

Re = (при равном соотношении сил трения и инерции выбираем точку сращивания у, т.к. асимптотические решения получены для случаев превалирования силы трения (решение при у или силы инерции (решение при у)

Координата сращивания равна:

у₀=

у₀= = = = lny₀+C ^*- lny₀

Важный вывод: скорость в точке сращивания равна пульсационной составляющей ,a - равна 0, что согласуется с гипотезой прилипания

ln+^*= ^*

Точное решение этой задачи имеет вид:

^*

Полученные в результате решения уравнения Рейнольдса два различных вида профилей скоростей: линейного у стенки и логарифмического профиля скорости вдали от нее и вид соответствующих функций согласуется с гипотезой Прандтля о наличии в пристенной области пограничного слоя с иным, чем в ядре потока механизмом переноса количества движения.