22. Теорема Брианшона. [3,4,5,7,8]

1. Пусть - описанный шестиугольник. Доказать, что большие диагонали пересекаются в одной точке.

23. Окружность, вписанная в сегмент и ее свойства.[5]

1. Окружность, касающаяся сторон треугольника и в точках и , касается также его описанной окружности (внутренним образом) в точке . Докажите, что

a) середина отрезка совпадает с центром вписанной окружности треугольника ;

2. четырехугольники и являются вписанными;

3. четырехугольники и являются гармоническими, т.е. в каждом из них произведения противоположных сторон равны;

4. прямая проходит через середину (содержащая вершину );

5. прямая проходит через центр гомотетии вписанной и описанной окружности;

6. прямая симметрична прямой , где - точка Нагеля;

7. точка , изогонально сопряженная точке Нагеля, является центром гомотетии вписанной и описанной окружности.

1. Пусть - точки касания вписанной окружности треугольника со сторонами и , соответственно; - середины дуг и (не содержащие вершин треугольника). Доказать, что

1. прямые , прямая, проходящая через параллельно , касательная к описанной окружности треугольника в вершине пересекаются в одной точке ;

2. - вторая касательная к описанной окружности.

3. Доказать, что точка , изогонально сопряженная точке Жергонна, – второй центр гомотетии вписанной и описанной окружности.

24. Лемма о бабочке.[10, задача 122]

1. Через середину произвольной хорды окружности проведены хорды и (точки и лежат по одну сторону от ); пересекает в точке , - в точке . Доказать, что .

25. Понятие центра масс системы материальных точек. Существование, единственность, группировка с доказательством. Теорема о центроиде четырехугольника.[1,2,5,12]

1. Центром масс системы материальных точек называется такая точка , для которой выполняется равенство: . Доказать, что если , то

1. центр масс существует;

2. центр масс – это единственная точка;

3. при группировке части точек, то есть замены их на точку, являющей центром масс этих точек с суммарной массой этих точек, центр масс новой и исходной системы точек остается прежним.

2. Доказать, что точка пересечения средних линий любого четырехугольника делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей.

3. Найти центр масс треугольника, сторонами которого являются однородные стержни.

26. Доказать с помощью понятия центра масс, что медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке и найти пропорцию, в которой точка пересечения делит соответствующую линию. [1,2,5,12]

1. Доказать с помощью понятия центра масс, что медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке и найти пропорцию, в которой точка пересечения делит соответствующую линию.