- •Замечательные точки в треугольнике .
- •Средняя линия в треугольнике и ее свойства. Теорема Вариньона. Площади. [7,8,9].
- •Подсчет углов. Вписанный угол. Угол между хордами и секущими к окружности. Угол между касательной и хордой. [7,8,9].
- •Вписанный четырехугольник. Критерии вписанного четырехугольника (5 признаков). [7,8,9]
- •Теорема о касательной и секущей. [7,8,9]
- •Теорема Фалеса с доказательством. Теорема о пропорциональных отрезках. [7,8,9]
- •Лемма Мансиона и ее обобщение. [7,8,9]
- •Окружность Эйлера 9 точек. [7,8,9]
- •Прямая Симпсона. [7,8,9]
- •Теорема Птолемея. [7,8,9,10]
- •Теорема Чевы и ее обобщение. Обратная теорема Чевы. [7,8,9]
- •Теорема Менелая и ее обобщение. Обратная теорема Менелая. [7,8,9]
- •Тригонометрическая форма теоремы Чевы. Изотомическое и изогональное сопряжение. Доказать, что точки и изогонально сопряжены. Точка Лемуана. [7,8,9,12]
- •Гомотетия, свойства гомотетии. Теорема Эйлера о том, что точки лежат на одной прямой, причем . [7,8,9]
- •Вневписанные окружности. Точка Нагеля . Свойства нагелиан. Доказать, что точки и изотомически сопряжены. [7,8,9]
- •Теорема Архимеда о двух касающихся окружностях. Задача Архимеда о ломаной.[5,12]
- •Теорема о прямой Эйлера-Нагеля. Доказать, что , .[5]
- •Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр трех окружностей.[4,5,7,8,9]
- •Формула Эйлера для вычисления расстояния между центрами вписанной и описанной окружности. [7,8,9]
- •Точка Торричелли и ее свойства.[3,4,5]
- •Треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный треугольник. [3,4,5]
- •Теорема Брианшона. [3,4,5,7,8]
- •Окружность, вписанная в сегмент и ее свойства.[5]
- •Лемма о бабочке.[10, задача 122]
- •Понятие центра масс системы материальных точек. Существование, единственность, группировка с доказательством. Теорема о центроиде четырехугольника.[1,2,5,12]
- •Доказать с помощью понятия центра масс, что медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке и найти пропорцию, в которой точка пересечения делит соответствующую линию. [1,2,5,12]
- •Понятие барицентрических координат точки относительно треугольника . Найти барицентрические координаты точек: середины , центров вневписанных окружностей. [1,2,5,12]
- •Условие принадлежности одной прямой трех точек с заданными барицентрическими координатами. Уравнение прямой линии в барицентрических координатах. [1,2,5,12]
- •Признак ромба: если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, образуемые сторонами и диагоналями четырехугольника, равны, то этот четырехугольник – ромб.
- •Теорема о биссектрисах внешних углов полного четырехугольника.
- •Теорема о трех центрах гомотетий (о трех колпаках).[7]
- •Инверсия относительно окружности. Деление отрезка пополам с помощью одного циркуля. Стереографическая проекция.[7]
- •Полярное соответствие. Свойство взаимности поляр. Двойственность в геометрии. Теорема Паскаля. [7]
- •Векторы и комплексные числа.
- •Разное.
- •Литература по курсу элементарная математика (геометрия)
-
Вневписанные окружности. Точка Нагеля . Свойства нагелиан. Доказать, что точки и изотомически сопряжены. [7,8,9]
-
Пусть - точки касания вписанной и вневписанной окружностей со стороной ; обозначим ближайшую к вершине точку пересечения прямой с вписанной окружностью через . Доказать:
a) ;
b) - диаметр вписанной окружности;
c) прямые пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Нагеля треугольника .
2. Доказать, что точки и изотомически сопряжены.
-
Теорема Архимеда о двух касающихся окружностях. Задача Архимеда о ломаной.[5,12]
-
Хорда разбивает окружность на две дуги. Окружность касается хорды в точке и одной из дуг в точке . Доказать, что - биссектриса треугольника .
-
На окружности выбраны точки . Из середины дуги , содержащей , опущен перпендикуляр на отрезок . Доказать, что .
-
Теорема о прямой Эйлера-Нагеля. Доказать, что , .[5]
-
В треугольник вписана окружность . Точки касания со сторонами и обозначены, соответственно, через и . На сторонах и отмечены также точки и , соответственно, для которых и . Пусть - точка пересечения отрезков и , и - ближайшая к вершине точка пересечения окружности и отрезка . Доказать, что .
-
Пусть - центры вписанной, описанной окружности, точка пересечения медиан и точка Нагеля треугольника. Доказать, что , .
-
Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр трех окружностей.[4,5,7,8,9]
-
Пусть - окружность с центром в точке и радиусом . Степенью точки относительно называется число , где . Для каких точек плоскости степень положительна, отрицательна, равна нулю?
-
На плоскости дана окружность и точка . Прямая, проведенная через точку , пересекает окружность в точках и . Докажите, что произведение не зависит от выбора прямой. Эта величина, взятая со знаком плюс для точки вне окружности и со знаком минус для точки внутри окружности, равна степени точки относительно .
-
Пусть и - две не концентрические окружности. Множество точек на плоскости, имеющих одинаковые степени относительно окружностей и , называется радикальной осью этих окружностей. Доказать, что радикальная ось двух окружностей – прямая, перпендикулярная линии центров.
-
Доказать, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей – это прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, а радикальная ось двух касающихся окружностей – это общая касательная этих окружностей.
-
Доказать, что точка , лежащая вне окружностей и , лежит на радикальной оси этих окружностей тогда и только тогда, когда длины касательных, проведенных из к этим окружностям равны.
-
Вершины прямоугольника лежат на двух пересекающихся окружностях: точки и лежат на , точки и лежат на . Доказать, что точка пересечения диагоналей лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения окружностей и .
-
Пусть , и - три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Докажите, что попарные радикальные оси этих окружностей пересекаются в одной точке. Эта точка называется радикальным центром трех окружностей , и .
-
Постройте с помощью циркуля и линейки радикальную ось окружности и точки, считая точку окружностью нулевого радиуса. Что такое радикальная ось для двух точек? Что такое радикальный центр для трех точек?
-
Постройте с помощью циркуля и линейки радикальную ось двух окружностей.
-
В треугольнике из вершин на противоположные стороны проведены шесть отрезков одинаковой длины (по два из каждой вершины). Докажите, что середины этих шести отрезков лежат на одной окружности
-
Дан остроугольный треугольник ABC. Касательные, проведенные из A к окружности, построенной на BC как на диаметре, касаются окружности в точках P и Q. Докажите, что точки P, Q, H (H - ортоцентр треугольника ABC) лежат на одной прямой. Решение. Обозначим через - центр окружности с диаметром АС. Построим также окружность с диаметром АО. Прямая является радикальной ось этих двух окружностей. Проверим, что точка Н имеет одинаковую степень относительно этих окружностей, т.е. лежит на радикальной оси. Пусть - высоты треугольника АВС, проведенные из вершин и , соответственно. Степень точки Н относительно равна , а относительно , но точки лежат на окружности с диаметром АВ. Поэтому и значит .
-