- •Замечательные точки в треугольнике .
- •Средняя линия в треугольнике и ее свойства. Теорема Вариньона. Площади. [7,8,9].
- •Подсчет углов. Вписанный угол. Угол между хордами и секущими к окружности. Угол между касательной и хордой. [7,8,9].
- •Вписанный четырехугольник. Критерии вписанного четырехугольника (5 признаков). [7,8,9]
- •Теорема о касательной и секущей. [7,8,9]
- •Теорема Фалеса с доказательством. Теорема о пропорциональных отрезках. [7,8,9]
- •Лемма Мансиона и ее обобщение. [7,8,9]
- •Окружность Эйлера 9 точек. [7,8,9]
- •Прямая Симпсона. [7,8,9]
- •Теорема Птолемея. [7,8,9,10]
- •Теорема Чевы и ее обобщение. Обратная теорема Чевы. [7,8,9]
- •Теорема Менелая и ее обобщение. Обратная теорема Менелая. [7,8,9]
- •Тригонометрическая форма теоремы Чевы. Изотомическое и изогональное сопряжение. Доказать, что точки и изогонально сопряжены. Точка Лемуана. [7,8,9,12]
- •Гомотетия, свойства гомотетии. Теорема Эйлера о том, что точки лежат на одной прямой, причем . [7,8,9]
- •Вневписанные окружности. Точка Нагеля . Свойства нагелиан. Доказать, что точки и изотомически сопряжены. [7,8,9]
- •Теорема Архимеда о двух касающихся окружностях. Задача Архимеда о ломаной.[5,12]
- •Теорема о прямой Эйлера-Нагеля. Доказать, что , .[5]
- •Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей. Радикальный центр трех окружностей.[4,5,7,8,9]
- •Формула Эйлера для вычисления расстояния между центрами вписанной и описанной окружности. [7,8,9]
- •Точка Торричелли и ее свойства.[3,4,5]
- •Треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный треугольник. [3,4,5]
- •Теорема Брианшона. [3,4,5,7,8]
- •Окружность, вписанная в сегмент и ее свойства.[5]
- •Лемма о бабочке.[10, задача 122]
- •Понятие центра масс системы материальных точек. Существование, единственность, группировка с доказательством. Теорема о центроиде четырехугольника.[1,2,5,12]
- •Доказать с помощью понятия центра масс, что медианы (биссектрисы, высоты) пересекаются в одной точке и найти пропорцию, в которой точка пересечения делит соответствующую линию. [1,2,5,12]
- •Понятие барицентрических координат точки относительно треугольника . Найти барицентрические координаты точек: середины , центров вневписанных окружностей. [1,2,5,12]
- •Условие принадлежности одной прямой трех точек с заданными барицентрическими координатами. Уравнение прямой линии в барицентрических координатах. [1,2,5,12]
- •Признак ромба: если радиусы окружностей, вписанных в треугольники, образуемые сторонами и диагоналями четырехугольника, равны, то этот четырехугольник – ромб.
- •Теорема о биссектрисах внешних углов полного четырехугольника.
- •Теорема о трех центрах гомотетий (о трех колпаках).[7]
- •Инверсия относительно окружности. Деление отрезка пополам с помощью одного циркуля. Стереографическая проекция.[7]
- •Полярное соответствие. Свойство взаимности поляр. Двойственность в геометрии. Теорема Паскаля. [7]
- •Векторы и комплексные числа.
- •Разное.
- •Литература по курсу элементарная математика (геометрия)
-
Теорема о касательной и секущей. [7,8,9]
-
Из точки к окружности проведена касательная и секущая, пересекающая в точках и . Доказать, что .
-
Из точки к окружности с центром в точке и радиусом проведены две секущие, пересекающие окружность в точках и , соответственно. Докажите, что . Не забудьте рассмотреть случай расположения точки внутри окружности.
-
В треугольнике ABC точки X, Y, Z лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что треугольники AYZ и XYZ – равносторонние, отрезки BY и CZ пересекаются в точке K. Докажите, что .
-
-
Теорема Фалеса с доказательством. Теорема о пропорциональных отрезках. [7,8,9]
-
Доказать основное свойство биссектрисы внутреннего и внешнего угла треугольника.
-
На сторонах и треугольника взяты соответственно точки и так, что . Отрезки и - биссектрисы треугольника . Докажите, что .
-
-
Лемма Мансиона и ее обобщение. [7,8,9]
-
(Лемма Мансиона, лемма о трезубце) Пусть - точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной окружностью этого треугольника. Доказать, что .
-
(Обобщенная лемма Мансиона) Пусть - точка пересечения биссектрисы угла треугольника с описанной окружностью этого треугольника. Доказать, что , где - центр вневписанной окружности, соответствующей вершине .
-
-
Окружность Эйлера 9 точек. [7,8,9]
-
(Эйлер) Доказать, что 9 точек: середины сторон, основания высот треугольника , середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника , лежат на одной окружности. Эта окружность называется окружностью Эйлера девяти точек треугольника.
-
Доказать, что радиус окружности Эйлера девяти точек равен , где - радиус описанной окружности треугольника .
-
Докажите, описанная окружность треугольника является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника .
-
Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.
-
Остроугольный треугольник вписан в окружность . Окружность с центром в середине дуги окружности проходит через точки . Аналогично определяются окружности . Докажите, что попарные точки пересечения окружностей ,, отличные от , лежат на окружности, радиус которой в 2 раза больше радиуса окружности .
Решение. Пусть - середины дуг и окружности ; - точка пересечения окружностей , отличная от точки . Тогда симметрична относительно прямой ; ; отсюда , т.е. точки лежат на одной прямой (в случае эта прямая является касательной к окружности ). Аналогично, лежат на одной прямой, а значит середина отрезка . Рассматривая аналогично точки, получаем, что окружность является окружностью Эйлера треугольника . Отсюда вытекает утверждение задачи.
-
Биссектрисы углов остроугольного треугольника пересекают описанную около него окружность в точках соответственно. Прямая пересекает биссектрисы внешних углов при вершинах и треугольника в точке . Точки и определяются аналогично. Доказать, что .
Решение. Пусть - точка пересечения биссектрис треугольника Окружность, описанная около треугольника , является окружностью девяти точек треугольника , т.е. окружностью, проходящей через основания высот треугольника , середины сторон этого треугольника и середины отрезков совпадающие с точками . Отрезок является медианой треугольника поэтому . Аналогичные равенства справедливы и для остальных пяти треугольников.